🚀 go-pugleaf

"Mateusz Grotek" <unoduetre@poczta.onet.pl>
news:h3k77e$d69$1@news.onet.pl...

> Hejka. Postanowiłem założyć nowy wątek, bo tamten dotyczył troszkę
> czegoś innego. Czyli co, chcesz stworzyć translację teorii mnogości na
> geometrię? Pomysł ciekawy, ale pojawi się problem. Geometria w
> aksjomatyce Tarskiego w logice 1 rzędu jest rozstrzygalna, a poza tym
> nie potrafi kwantyfikować po zbiorach/predykatach punktów/linii etc. Ale
> możemy użyć jakiejś innej aksjomatyki. Na przykład aksjomatyki Hilberta,
> którą można zapisać w logice 1 lub 2 rzędu, lub nawet aksjomatyki
> Tarskiego w logice 2 rzędu lub 1 rzędu wzbogaconej o jakąs postać teorii
> mnogości.
>
> Garść informacji:
>
> http://www.math.umbc.edu/~campbell/Math306Spr02/notes/ - notatki z
> wykładu, na dole są podane różne aksjomatyki. Jest użyty język
> naturalny, więc nie będziesz mieć problemu  ich zrozumieniem, o ile
> znasz angielski. Należy przy tym zaznaczyć, że aksjomatyka Euklidesa nie
> jest pełna, gdyż używa on pojęć których nie definiuje do wyprowadzenia
> niektórych twierdzeń. Ale w końcu to było w roku 300 p.n.e.  Niestety
> jest tam też kilka niejasności :-(
>
> Tu informacje o rozstrzygalności:
> http://math.berkeley.edu/~scanlon/papers/dedfg1.pdf
>
> Tutaj 3 aksjomatyki opisane:
> http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_axioms
> http://en.wikipedia.org/wiki/Tarski%27s_axioms
> http://en.wikipedia.org/wiki/Birkhoff%27s_axioms
>
> Tutaj cała książka Hilberta w której wprowadził swoją aksjomatykę:
> ftp://ftp.pg.psnc.pl/pub/1/7/3/8/17384/17384-pdf.pdf
>
> A tutaj aksjomatyka Hilberta w języku polskim:
> http://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomatyka_Hilberta
>
> To na wypadek gdybyś nie znał angielskiego. Jest ona sformułowana w
> języku naturalnym, więc nie powinieneś mieć problemu z jej zrozumieniem.
> Jednakże jeśli porównasz strony:
> http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_axioms
> i
> http://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomatyka_Hilberta
> to zauważysz że jak to zazwyczaj bywa polska strona jest do bani, bo
> błędnie podaje aksjomat ciągłości, gdyż używa pojęcia liczby naturalnej,
> którego w geometrii NIE MA.
>
> Informacje o aksjomatyce Tarskiego i jej rozwinięciach:
> http://www.math.ucla.edu/~asl/bsl/0502/0502-002.ps
>
> Szczerze mówiąc ja bym tu użył aksjomatyki Tarskiego wzbogaconej o
> mereologię. To mogłoby być dość ciekawe. Podejrzewam, że dostaniemy
> system zawierający arytmetykę :-) Więc nie powinno być problemu z
> formalizacją ZFC wewnątrz niego.
>
> Nadal jesteś zainteresowany zabawą z geometrią? To może być ciekawa
> rozrywka... Jeśli tak, to możemy coś wymyslić :-D


Piszesz "używa pojęcia liczby naturalnej, którego w geometrii NIE MA."
Czym wobec tego wyskalowana jest oś liczbowa w geometrii
jeśli NIE MA w geometrii pojęcia liczby naturalnej ? :-)
Edward Robak* z Nowej Huty
~>°<~
miłośnik mądrości
- -
kopia na pl.sci.filozofia 

  z alt.pl.matematyka
"Mateusz Grotek" <unoduetre@poczta.onet.pl>
news:h3k77e$d69$1@news.onet.pl...

> Hejka. Postanowiłem założyć nowy wątek, bo tamten dotyczył troszkę
> czegoś innego. Czyli co, chcesz stworzyć translację teorii mnogości na
> geometrię? Pomysł ciekawy, ale pojawi się problem. Geometria w
> aksjomatyce Tarskiego w logice 1 rzędu jest rozstrzygalna, a poza tym
> nie potrafi kwantyfikować po zbiorach/predykatach punktów/linii etc. Ale
> możemy użyć jakiejś innej aksjomatyki. Na przykład aksjomatyki Hilberta,
> którą można zapisać w logice 1 lub 2 rzędu, lub nawet aksjomatyki
> Tarskiego w logice 2 rzędu lub 1 rzędu wzbogaconej o jakąs postać teorii
> mnogości.
>
> Garść informacji:
>
> http://www.math.umbc.edu/~campbell/Math306Spr02/notes/ - notatki z
> wykładu, na dole są podane różne aksjomatyki. Jest użyty język
> naturalny, więc nie będziesz mieć problemu  ich zrozumieniem, o ile
> znasz angielski. Należy przy tym zaznaczyć, że aksjomatyka Euklidesa nie
> jest pełna, gdyż używa on pojęć których nie definiuje do wyprowadzenia
> niektórych twierdzeń. Ale w końcu to było w roku 300 p.n.e.  Niestety
> jest tam też kilka niejasności :-(
>
> Tu informacje o rozstrzygalności:
> http://math.berkeley.edu/~scanlon/papers/dedfg1.pdf
>
> Tutaj 3 aksjomatyki opisane:
> http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_axioms
> http://en.wikipedia.org/wiki/Tarski%27s_axioms
> http://en.wikipedia.org/wiki/Birkhoff%27s_axioms
>
> Tutaj cała książka Hilberta w której wprowadził swoją aksjomatykę:
> ftp://ftp.pg.psnc.pl/pub/1/7/3/8/17384/17384-pdf.pdf
>
> A tutaj aksjomatyka Hilberta w języku polskim:
> http://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomatyka_Hilberta
>
> To na wypadek gdybyś nie znał angielskiego. Jest ona sformułowana w
> języku naturalnym, więc nie powinieneś mieć problemu z jej zrozumieniem.
> Jednakże jeśli porównasz strony:
> http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_axioms
> i
> http://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomatyka_Hilberta
> to zauważysz że jak to zazwyczaj bywa polska strona jest do bani, bo
> błędnie podaje aksjomat ciągłości, gdyż używa pojęcia liczby naturalnej,
> którego w geometrii NIE MA.
>
> Informacje o aksjomatyce Tarskiego i jej rozwinięciach:
> http://www.math.ucla.edu/~asl/bsl/0502/0502-002.ps
>
> Szczerze mówiąc ja bym tu użył aksjomatyki Tarskiego wzbogaconej o
> mereologię. To mogłoby być dość ciekawe. Podejrzewam, że dostaniemy
> system zawierający arytmetykę :-) Więc nie powinno być problemu z
> formalizacją ZFC wewnątrz niego.
>
> Nadal jesteś zainteresowany zabawą z geometrią? To może być ciekawa
> rozrywka... Jeśli tak, to możemy coś wymyslić :-D

Piszesz "używa pojęcia liczby naturalnej, którego w geometrii NIE MA."
Czym wobec tego wyskalowana jest oś liczbowa w geometrii
jeśli NIE MA w geometrii pojęcia liczby naturalnej ? :-)
Edward Robak* z Nowej Huty
~>°<~
miłośnik mądrości
- -
kopia na pl.sci.filozofia 

Robakks pisze:
>  z alt.pl.matematyka
> "Mateusz Grotek" <unoduetre@poczta.onet.pl>
> news:h3k77e$d69$1@news.onet.pl...
> 
>> Hejka. Postanowiłem założyć nowy wątek, bo tamten dotyczył troszkę
>> czegoś innego. Czyli co, chcesz stworzyć translację teorii mnogości na
>> geometrię? Pomysł ciekawy, ale pojawi się problem. Geometria w
>> aksjomatyce Tarskiego w logice 1 rzędu jest rozstrzygalna, a poza tym
>> nie potrafi kwantyfikować po zbiorach/predykatach punktów/linii etc. Ale
>> możemy użyć jakiejś innej aksjomatyki. Na przykład aksjomatyki Hilberta,
>> którą można zapisać w logice 1 lub 2 rzędu, lub nawet aksjomatyki
>> Tarskiego w logice 2 rzędu lub 1 rzędu wzbogaconej o jakąs postać teorii
>> mnogości.
>>
>> Garść informacji:
>>
>> http://www.math.umbc.edu/~campbell/Math306Spr02/notes/ - notatki z
>> wykładu, na dole są podane różne aksjomatyki. Jest użyty język
>> naturalny, więc nie będziesz mieć problemu  ich zrozumieniem, o ile
>> znasz angielski. Należy przy tym zaznaczyć, że aksjomatyka Euklidesa nie
>> jest pełna, gdyż używa on pojęć których nie definiuje do wyprowadzenia
>> niektórych twierdzeń. Ale w końcu to było w roku 300 p.n.e.  Niestety
>> jest tam też kilka niejasności :-(
>>
>> Tu informacje o rozstrzygalności:
>> http://math.berkeley.edu/~scanlon/papers/dedfg1.pdf
>>
>> Tutaj 3 aksjomatyki opisane:
>> http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_axioms
>> http://en.wikipedia.org/wiki/Tarski%27s_axioms
>> http://en.wikipedia.org/wiki/Birkhoff%27s_axioms
>>
>> Tutaj cała książka Hilberta w której wprowadził swoją aksjomatykę:
>> ftp://ftp.pg.psnc.pl/pub/1/7/3/8/17384/17384-pdf.pdf
>>
>> A tutaj aksjomatyka Hilberta w języku polskim:
>> http://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomatyka_Hilberta
>>
>> To na wypadek gdybyś nie znał angielskiego. Jest ona sformułowana w
>> języku naturalnym, więc nie powinieneś mieć problemu z jej zrozumieniem.
>> Jednakże jeśli porównasz strony:
>> http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_axioms
>> i
>> http://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomatyka_Hilberta
>> to zauważysz że jak to zazwyczaj bywa polska strona jest do bani, bo
>> błędnie podaje aksjomat ciągłości, gdyż używa pojęcia liczby naturalnej,
>> którego w geometrii NIE MA.
>>
>> Informacje o aksjomatyce Tarskiego i jej rozwinięciach:
>> http://www.math.ucla.edu/~asl/bsl/0502/0502-002.ps
>>
>> Szczerze mówiąc ja bym tu użył aksjomatyki Tarskiego wzbogaconej o
>> mereologię. To mogłoby być dość ciekawe. Podejrzewam, że dostaniemy
>> system zawierający arytmetykę :-) Więc nie powinno być problemu z
>> formalizacją ZFC wewnątrz niego.
>>
>> Nadal jesteś zainteresowany zabawą z geometrią? To może być ciekawa
>> rozrywka... Jeśli tak, to możemy coś wymyslić :-D
> 
> Piszesz "używa pojęcia liczby naturalnej, którego w geometrii NIE MA."
> Czym wobec tego wyskalowana jest oś liczbowa w geometrii
> jeśli NIE MA w geometrii pojęcia liczby naturalnej ? :-)

Liczby naturalne to dowolne obiekty spełniające aksjomaty arytmetyki.
Chodzi tu o to, że aby mówić o liczbach naturalnych musimy znaleźć
jakieś obiekty spełniające ich aksjomaty, a także odwzorować operacje
arytmetyki na operacje geometryczne. Nie wystarczy tylko wybrać
odpowiednich punktów, bo arytmetyka zawiera także operacje dodawania i
mnożenia. Dlatego dla geometrii bez żadnej teorii mnogości pojawiają się
problemy.
Weźmy aksjomaty arytmetyki z poniższej strony:
http://www.ltn.lv/~podnieks/gt3.html
Przepisałem je w innej notacji:

P12) ALL x. ~0=x+1

Dla każdego x nieprawda że zero jest równe następnikowi jakiejś liczby.

P22) ALL x. ALL y. x+1=y+1 => x=y

Dla dowolnych x,y x+1=y+1 implikuje x=y

P32) ALL x. x+0=x

P42) ALL x. ALL y. x+(y+1)=(x+y)+1

P52) ALL x. x*0=0

P62) ALL x. ALL y. x*(y+1)=(x*y)+x

A to jest schemat aksjomatów indukcji. Podpada pod niego nieskończenie
wiele aksjomatów, gdyż jest to schemat dla dowolnej formuły języka
arytmetyki B(_)

P72) ( B(0) & ALL x. (B(x)=>B(x+1)) ) => ALL x. B(x)

B(_) - dowolna formuła języka arytmetyki, gdzie _ to jej wybrany parametr.
B(0) i
dla każdego x B(x) implikuje B(x+1)
implikuje
dla każdego x B(x)

A więc, żeby mieć liczby musimy jakoś odwzorować mnożenie i indukcję. To
się nie uda dla geometrii bez jakiejś teorii mnogości, gdyż jest ona
rozstrzygalna, a arytmetyka nie jest. Rozstrzygalność polega na tym, że
istnieje algorytm pozwalający stwierdzić, czy dane zdanie jest
twierdzeniem danej teorii, czy nie. Inaczej mówiąc można napisać program
na komputerze, który byćmoże po bardzo długim, aczkolwiek skończonym
czasie odpowie na pytanie, czy dane twierdzenie jest dowodliwe, czy
raczej jego zaprzeczenie. A więc nie można włożyć teorii
nierozstrzygalnej do rozstrzygalnej, gdyż wtedy ta pierwsza byłaby
rozstrzygalna na gruncie drugiej. Ale jeśli dołozymy jakąś formę teorii
mnogości/typów itp. to prawdopodobnie wzmocnimy wystarczająco teorię.


Proste wyjaśnienie powyższego:

Nawet jeśli wybierzesz pewne punkty na osi jako liczby naturalne nie
będziesz mógł zdefiniować operacji na nich. Geometria, bez mozliwości
mówienia o zbiorach punktów a tylko o samych punktach nie pozwoli na
zdefiniowanie wszystkich operacji na liczbach naturalnych. Aczkolwiek
jeśli dopuści się mówienie o zbiorach punktów, prawdopodobnie (zgaduję)
będzie możliwe zdefiniowanie tych operacji, a tym samym liczb naturalnych.

> Edward Robak* z Nowej Huty
> ~>°<~
> miłośnik mądrości
> - -
> kopia na pl.sci.filozofia

"Mateusz Grotek" <unoduetre@poczta.onet.pl>
news:h3lj65$vg9$1@news.onet.pl...
> Robakks pisze:

>>> http://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomatyka_Hilberta
>>> to zauważysz że jak to zazwyczaj bywa polska strona jest do bani, bo
>>> błędnie podaje aksjomat ciągłości, gdyż używa pojęcia liczby naturalnej,
>>> którego w geometrii NIE MA.

>> Piszesz "używa pojęcia liczby naturalnej, którego w geometrii NIE MA."
>> Czym wobec tego wyskalowana jest oś liczbowa w geometrii
>> jeśli NIE MA w geometrii pojęcia liczby naturalnej ? :-)
>> Edward Robak* z Nowej Huty
>> ~>°<~
>> miłośnik mądrości
>> - -
>> kopia na pl.sci.filozofia

> Liczby naturalne to dowolne obiekty spełniające aksjomaty arytmetyki.
> Chodzi tu o to, że aby mówić o liczbach naturalnych musimy znaleźć
> jakieś obiekty spełniające ich aksjomaty, a także odwzorować operacje
> arytmetyki na operacje geometryczne. Nie wystarczy tylko wybrać
> odpowiednich punktów, bo arytmetyka zawiera także operacje
> dodawania i mnożenia. Dlatego dla geometrii bez żadnej teorii
> mnogości pojawiają się problemy.
> Weźmy aksjomaty arytmetyki z poniższej strony:
> http://www.ltn.lv/~podnieks/gt3.html
> Przepisałem je w innej notacji:
>
> P12) ALL x. ~0=x+1
>
> Dla każdego x nieprawda że zero jest równe następnikowi jakiejś liczby.
>
> P22) ALL x. ALL y. x+1=y+1 => x=y
>
> Dla dowolnych x,y x+1=y+1 implikuje x=y
>
> P32) ALL x. x+0=x
>
> P42) ALL x. ALL y. x+(y+1)=(x+y)+1
>
> P52) ALL x. x*0=0
>
> P62) ALL x. ALL y. x*(y+1)=(x*y)+x
>
> A to jest schemat aksjomatów indukcji. Podpada pod niego
> nieskończenie wiele aksjomatów, gdyż jest to schemat dla dowolnej
> formuły języka arytmetyki B(_)
>
> P72) ( B(0) & ALL x. (B(x)=>B(x+1)) ) => ALL x. B(x)
>
> B(_) - dowolna formuła języka arytmetyki, gdzie _ to jej wybrany parametr.
> B(0) i
> dla każdego x B(x) implikuje B(x+1)
> implikuje
> dla każdego x B(x)
>
> A więc, żeby mieć liczby musimy jakoś odwzorować mnożenie i indukcję.
> To się nie uda dla geometrii bez jakiejś teorii mnogości, gdyż jest ona
> rozstrzygalna, a arytmetyka nie jest. Rozstrzygalność polega na tym, że
> istnieje algorytm pozwalający stwierdzić, czy dane zdanie jest
> twierdzeniem danej teorii, czy nie. Inaczej mówiąc można napisać
> program na komputerze, który byćmoże po bardzo długim, aczkolwiek
> skończonym czasie odpowie na pytanie, czy dane twierdzenie jest
> dowodliwe, czy raczej jego zaprzeczenie. A więc nie można włożyć teorii
> nierozstrzygalnej do rozstrzygalnej, gdyż wtedy ta pierwsza byłaby
> rozstrzygalna na gruncie drugiej. Ale jeśli dołozymy jakąś formę teorii
> mnogości/typów itp. to prawdopodobnie wzmocnimy wystarczająco teorię.
>
>
> Proste wyjaśnienie powyższego:
>
> Nawet jeśli wybierzesz pewne punkty na osi jako liczby naturalne nie
> będziesz mógł zdefiniować operacji na nich. Geometria, bez mozliwości
> mówienia o zbiorach punktów a tylko o samych punktach nie pozwoli na
> zdefiniowanie wszystkich operacji na liczbach naturalnych. Aczkolwiek
> jeśli dopuści się mówienie o zbiorach punktów, prawdopodobnie
> (zgaduję) będzie możliwe zdefiniowanie tych operacji, a tym samym
> liczb naturalnych.

Gdy po wyłączeniu zapory AVG wchodzę na stronę, którą podałeś:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomatyka_Hilberta
i czytam:

 Aksjomaty ciągłości

   1. (Aksjomat Archimedesa): Dla danych odcinków AB i CD istnieje
      taka liczba naturalna n, że odkładając odcinek CD n-krotnie od
      punktu A na prostej AB, punkt końcowy przekroczy punkt B.

- to widzę oś liczbową Kartezjusza, na której odcinek jednostkowy CD
odkładany jest na całej długości półprostej, a kolejne odcinki
zliczane są liczbami porządkowymi rozpoczynając od JEDEN.
Tak utworzone nazwy liczb porządkowych tworzą zbiór nazw.
Ten zbiór ma nazwę "zbiór liczb naturalnych N", bowiem półprosta
jest figurą naturalną, a odcinków CD nie odkłada się przecież
ponad ostatni element w tym zbiorze przeliczonym o nazwie oo.
Liczby porządkowe większe od oo nie występują w zbiorze N,
bowiem długości większe od oo, nie są naturalne w geometrii
klasycznej Świata jaki jest. :-)
Robakks
*°"˝'´¨˘`˙.^:;~>¤<×÷-.,˛¸
- -
Kasia = aleph0 [cm] < Kasia = aleph0 [km] :) <= TABU 

Robakks pisze:
> "Mateusz Grotek" <unoduetre@poczta.onet.pl>
> news:h3lj65$vg9$1@news.onet.pl...
>> Robakks pisze:
> 
>>>> http://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomatyka_Hilberta
>>>> to zauważysz że jak to zazwyczaj bywa polska strona jest do bani, bo
>>>> błędnie podaje aksjomat ciągłości, gdyż używa pojęcia liczby
>>>> naturalnej,
>>>> którego w geometrii NIE MA.
> 
>>> Piszesz "używa pojęcia liczby naturalnej, którego w geometrii NIE MA."
>>> Czym wobec tego wyskalowana jest oś liczbowa w geometrii
>>> jeśli NIE MA w geometrii pojęcia liczby naturalnej ? :-)
>>> Edward Robak* z Nowej Huty
>>> ~>°<~
>>> miłośnik mądrości
>>> - -
>>> kopia na pl.sci.filozofia
> 
>> Liczby naturalne to dowolne obiekty spełniające aksjomaty arytmetyki.
>> Chodzi tu o to, że aby mówić o liczbach naturalnych musimy znaleźć
>> jakieś obiekty spełniające ich aksjomaty, a także odwzorować operacje
>> arytmetyki na operacje geometryczne. Nie wystarczy tylko wybrać
>> odpowiednich punktów, bo arytmetyka zawiera także operacje
>> dodawania i mnożenia. Dlatego dla geometrii bez żadnej teorii
>> mnogości pojawiają się problemy.
>> Weźmy aksjomaty arytmetyki z poniższej strony:
>> http://www.ltn.lv/~podnieks/gt3.html
>> Przepisałem je w innej notacji:
>>
>> P12) ALL x. ~0=x+1
>>
>> Dla każdego x nieprawda że zero jest równe następnikowi jakiejś liczby.
>>
>> P22) ALL x. ALL y. x+1=y+1 => x=y
>>
>> Dla dowolnych x,y x+1=y+1 implikuje x=y
>>
>> P32) ALL x. x+0=x
>>
>> P42) ALL x. ALL y. x+(y+1)=(x+y)+1
>>
>> P52) ALL x. x*0=0
>>
>> P62) ALL x. ALL y. x*(y+1)=(x*y)+x
>>
>> A to jest schemat aksjomatów indukcji. Podpada pod niego
>> nieskończenie wiele aksjomatów, gdyż jest to schemat dla dowolnej
>> formuły języka arytmetyki B(_)
>>
>> P72) ( B(0) & ALL x. (B(x)=>B(x+1)) ) => ALL x. B(x)
>>
>> B(_) - dowolna formuła języka arytmetyki, gdzie _ to jej wybrany
>> parametr.
>> B(0) i
>> dla każdego x B(x) implikuje B(x+1)
>> implikuje
>> dla każdego x B(x)
>>
>> A więc, żeby mieć liczby musimy jakoś odwzorować mnożenie i indukcję.
>> To się nie uda dla geometrii bez jakiejś teorii mnogości, gdyż jest ona
>> rozstrzygalna, a arytmetyka nie jest. Rozstrzygalność polega na tym, że
>> istnieje algorytm pozwalający stwierdzić, czy dane zdanie jest
>> twierdzeniem danej teorii, czy nie. Inaczej mówiąc można napisać
>> program na komputerze, który byćmoże po bardzo długim, aczkolwiek
>> skończonym czasie odpowie na pytanie, czy dane twierdzenie jest
>> dowodliwe, czy raczej jego zaprzeczenie. A więc nie można włożyć teorii
>> nierozstrzygalnej do rozstrzygalnej, gdyż wtedy ta pierwsza byłaby
>> rozstrzygalna na gruncie drugiej. Ale jeśli dołozymy jakąś formę teorii
>> mnogości/typów itp. to prawdopodobnie wzmocnimy wystarczająco teorię.
>>
>>
>> Proste wyjaśnienie powyższego:
>>
>> Nawet jeśli wybierzesz pewne punkty na osi jako liczby naturalne nie
>> będziesz mógł zdefiniować operacji na nich. Geometria, bez mozliwości
>> mówienia o zbiorach punktów a tylko o samych punktach nie pozwoli na
>> zdefiniowanie wszystkich operacji na liczbach naturalnych. Aczkolwiek
>> jeśli dopuści się mówienie o zbiorach punktów, prawdopodobnie
>> (zgaduję) będzie możliwe zdefiniowanie tych operacji, a tym samym
>> liczb naturalnych.
> 
> Gdy po wyłączeniu zapory AVG wchodzę na stronę, którą podałeś:
> http://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomatyka_Hilberta
> i czytam:
> 
> Aksjomaty ciągłości
> 
>   1. (Aksjomat Archimedesa): Dla danych odcinków AB i CD istnieje
>      taka liczba naturalna n, że odkładając odcinek CD n-krotnie od
>      punktu A na prostej AB, punkt końcowy przekroczy punkt B.
> 
> - to widzę oś liczbową Kartezjusza, na której odcinek jednostkowy CD
> odkładany jest na całej długości półprostej, a kolejne odcinki
> zliczane są liczbami porządkowymi rozpoczynając od JEDEN.
> Tak utworzone nazwy liczb porządkowych tworzą zbiór nazw.
> Ten zbiór ma nazwę "zbiór liczb naturalnych N", bowiem półprosta
> jest figurą naturalną, a odcinków CD nie odkłada się przecież
> ponad ostatni element w tym zbiorze przeliczonym o nazwie oo.
> Liczby porządkowe większe od oo nie występują w zbiorze N,
> bowiem długości większe od oo, nie są naturalne w geometrii
> klasycznej Świata jaki jest. :-)

Dlatego napisałem, że polska strona na wiki jest do bani i wskazałem
błędne sformułowanie tego aksjomatu. Porównaj sobie ze stroną angielską
i aksjomatem o tym samym numerze, albo z oryginalną pracą Hilberta.
Wikipedię każdy może edytować, więc pewnie ktoś sobie wyedytował...

> Robakks
> *°"˝'´¨˘`˙.^:;~>¤<×÷-.,˛¸
> - -
> Kasia = aleph0 [cm] < Kasia = aleph0 [km] :) <= TABU

Mateusz Grotek pisze:
> Robakks pisze:
>>  z alt.pl.matematyka
>> "Mateusz Grotek" <unoduetre@poczta.onet.pl>
>> news:h3k77e$d69$1@news.onet.pl...
>>
>>> Hejka. Postanowiłem założyć nowy wątek, bo tamten dotyczył troszkę
>>> czegoś innego. Czyli co, chcesz stworzyć translację teorii mnogości na
>>> geometrię? Pomysł ciekawy, ale pojawi się problem. Geometria w
>>> aksjomatyce Tarskiego w logice 1 rzędu jest rozstrzygalna, a poza tym
>>> nie potrafi kwantyfikować po zbiorach/predykatach punktów/linii etc. Ale
>>> możemy użyć jakiejś innej aksjomatyki. Na przykład aksjomatyki Hilberta,
>>> którą można zapisać w logice 1 lub 2 rzędu, lub nawet aksjomatyki
>>> Tarskiego w logice 2 rzędu lub 1 rzędu wzbogaconej o jakąs postać teorii
>>> mnogości.
>>>
>>> Garść informacji:
>>>
>>> http://www.math.umbc.edu/~campbell/Math306Spr02/notes/ - notatki z
>>> wykładu, na dole są podane różne aksjomatyki. Jest użyty język
>>> naturalny, więc nie będziesz mieć problemu  ich zrozumieniem, o ile
>>> znasz angielski. Należy przy tym zaznaczyć, że aksjomatyka Euklidesa nie
>>> jest pełna, gdyż używa on pojęć których nie definiuje do wyprowadzenia
>>> niektórych twierdzeń. Ale w końcu to było w roku 300 p.n.e.  Niestety
>>> jest tam też kilka niejasności :-(
>>>
>>> Tu informacje o rozstrzygalności:
>>> http://math.berkeley.edu/~scanlon/papers/dedfg1.pdf
>>>
>>> Tutaj 3 aksjomatyki opisane:
>>> http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_axioms
>>> http://en.wikipedia.org/wiki/Tarski%27s_axioms
>>> http://en.wikipedia.org/wiki/Birkhoff%27s_axioms
>>>
>>> Tutaj cała książka Hilberta w której wprowadził swoją aksjomatykę:
>>> ftp://ftp.pg.psnc.pl/pub/1/7/3/8/17384/17384-pdf.pdf
>>>
>>> A tutaj aksjomatyka Hilberta w języku polskim:
>>> http://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomatyka_Hilberta
>>>
>>> To na wypadek gdybyś nie znał angielskiego. Jest ona sformułowana w
>>> języku naturalnym, więc nie powinieneś mieć problemu z jej zrozumieniem.
>>> Jednakże jeśli porównasz strony:
>>> http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_axioms
>>> i
>>> http://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomatyka_Hilberta
>>> to zauważysz że jak to zazwyczaj bywa polska strona jest do bani, bo
>>> błędnie podaje aksjomat ciągłości, gdyż używa pojęcia liczby naturalnej,
>>> którego w geometrii NIE MA.
>>>
>>> Informacje o aksjomatyce Tarskiego i jej rozwinięciach:
>>> http://www.math.ucla.edu/~asl/bsl/0502/0502-002.ps
>>>
>>> Szczerze mówiąc ja bym tu użył aksjomatyki Tarskiego wzbogaconej o
>>> mereologię. To mogłoby być dość ciekawe. Podejrzewam, że dostaniemy
>>> system zawierający arytmetykę :-) Więc nie powinno być problemu z
>>> formalizacją ZFC wewnątrz niego.
>>>
>>> Nadal jesteś zainteresowany zabawą z geometrią? To może być ciekawa
>>> rozrywka... Jeśli tak, to możemy coś wymyslić :-D
>> Piszesz "używa pojęcia liczby naturalnej, którego w geometrii NIE MA."
>> Czym wobec tego wyskalowana jest oś liczbowa w geometrii
>> jeśli NIE MA w geometrii pojęcia liczby naturalnej ? :-)
> 
> Liczby naturalne to dowolne obiekty spełniające aksjomaty arytmetyki.
> Chodzi tu o to, że aby mówić o liczbach naturalnych musimy znaleźć
> jakieś obiekty spełniające ich aksjomaty, a także odwzorować operacje
> arytmetyki na operacje geometryczne. Nie wystarczy tylko wybrać
> odpowiednich punktów, bo arytmetyka zawiera także operacje dodawania i
> mnożenia. Dlatego dla geometrii bez żadnej teorii mnogości pojawiają się
> problemy.
> Weźmy aksjomaty arytmetyki z poniższej strony:
> http://www.ltn.lv/~podnieks/gt3.html
> Przepisałem je w innej notacji:
> 
> P12) ALL x. ~0=x+1
> 
> Dla każdego x nieprawda że zero jest równe następnikowi jakiejś liczby.
> 
> P22) ALL x. ALL y. x+1=y+1 => x=y
> 
> Dla dowolnych x,y x+1=y+1 implikuje x=y
> 
> P32) ALL x. x+0=x
> 
> P42) ALL x. ALL y. x+(y+1)=(x+y)+1
> 
> P52) ALL x. x*0=0
> 
> P62) ALL x. ALL y. x*(y+1)=(x*y)+x
> 
> A to jest schemat aksjomatów indukcji. Podpada pod niego nieskończenie
> wiele aksjomatów, gdyż jest to schemat dla dowolnej formuły języka
> arytmetyki B(_)
> 
> P72) ( B(0) & ALL x. (B(x)=>B(x+1)) ) => ALL x. B(x)
> 
> B(_) - dowolna formuła języka arytmetyki, gdzie _ to jej wybrany parametr.
> B(0) i
> dla każdego x B(x) implikuje B(x+1)
> implikuje
> dla każdego x B(x)
> 
> A więc, żeby mieć liczby musimy jakoś odwzorować mnożenie i indukcję. To
> się nie uda dla geometrii bez jakiejś teorii mnogości, gdyż jest ona
> rozstrzygalna, a arytmetyka nie jest. Rozstrzygalność polega na tym, że
> istnieje algorytm pozwalający stwierdzić, czy dane zdanie jest
> twierdzeniem danej teorii, czy nie. Inaczej mówiąc można napisać program
> na komputerze, który byćmoże po bardzo długim, aczkolwiek skończonym
> czasie odpowie na pytanie, czy dane twierdzenie jest dowodliwe, czy
> raczej jego zaprzeczenie. A więc nie można włożyć teorii
> nierozstrzygalnej do rozstrzygalnej, gdyż wtedy ta pierwsza byłaby
> rozstrzygalna na gruncie drugiej. Ale jeśli dołozymy jakąś formę teorii
> mnogości/typów itp. to prawdopodobnie wzmocnimy wystarczająco teorię.
> 
> 
> Proste wyjaśnienie powyższego:
> 
> Nawet jeśli wybierzesz pewne punkty na osi jako liczby naturalne nie
> będziesz mógł zdefiniować operacji na nich. Geometria, bez mozliwości
> mówienia o zbiorach punktów a tylko o samych punktach nie pozwoli na
> zdefiniowanie wszystkich operacji na liczbach naturalnych. Aczkolwiek
> jeśli dopuści się mówienie o zbiorach punktów, prawdopodobnie (zgaduję)
> będzie możliwe zdefiniowanie tych operacji, a tym samym liczb naturalnych.
>

Sprawdziłem, mnożenie jest definiowalne w geometrii. No cóż, to było
jednak proste. Natomiast nie można wyróżnić zbioru liczb naturalnych w
standardowej geometrii. Tym samym nie można zastosować aksjomatów tylko
do tych obiektów, a dokładniej, nie można kwantyfikować tylko po
liczbach naturalnych.

Dane:
1. książka HIlberta pokazuje jak zdefiniować liczby rzeczywiste. No cóż
musiało mi coś paść na mózg, że nie pomyślałem, że przecież tam jest
mnożenie.
2. http://math.berkeley.edu/~scanlon/papers/dedfg1.pdf - tu wskazana
jest prawidłowa przyczyna - niemożność wyróżnienia liczb naturalnych.
>> Edward Robak* z Nowej Huty
>> ~>°<~
>> miłośnik mądrości
>> - -
>> kopia na pl.sci.filozofia

On Wed, 15 Jul 2009 23:53:25 +0200, Mateusz Grotek
<unoduetre@poczta.onet.pl> wrote:

>Robakks pisze:
]..\
>> Edward Robak* z Nowej Huty
>> ~>°<~
>> miłośnik mądrości
>> - -
>> kopia na pl.sci.filozofia


Rzeczywiscie musisz byc letnio rozleniwiony ze ci sie zebralo na takie
dyskusje. 

A.L.

Mateusz Grotek pisze:
> Mateusz Grotek pisze:
>> Robakks pisze:
>>>  z alt.pl.matematyka
>>> "Mateusz Grotek" <unoduetre@poczta.onet.pl>
>>> news:h3k77e$d69$1@news.onet.pl...
>>>
>>>> Hejka. Postanowiłem założyć nowy wątek, bo tamten dotyczył troszkę
>>>> czegoś innego. Czyli co, chcesz stworzyć translację teorii mnogości na
>>>> geometrię? Pomysł ciekawy, ale pojawi się problem. Geometria w
>>>> aksjomatyce Tarskiego w logice 1 rzędu jest rozstrzygalna, a poza tym
>>>> nie potrafi kwantyfikować po zbiorach/predykatach punktów/linii etc. Ale
>>>> możemy użyć jakiejś innej aksjomatyki. Na przykład aksjomatyki Hilberta,
>>>> którą można zapisać w logice 1 lub 2 rzędu, lub nawet aksjomatyki
>>>> Tarskiego w logice 2 rzędu lub 1 rzędu wzbogaconej o jakąs postać teorii
>>>> mnogości.
>>>>
>>>> Garść informacji:
>>>>
>>>> http://www.math.umbc.edu/~campbell/Math306Spr02/notes/ - notatki z
>>>> wykładu, na dole są podane różne aksjomatyki. Jest użyty język
>>>> naturalny, więc nie będziesz mieć problemu  ich zrozumieniem, o ile
>>>> znasz angielski. Należy przy tym zaznaczyć, że aksjomatyka Euklidesa nie
>>>> jest pełna, gdyż używa on pojęć których nie definiuje do wyprowadzenia
>>>> niektórych twierdzeń. Ale w końcu to było w roku 300 p.n.e.  Niestety
>>>> jest tam też kilka niejasności :-(
>>>>
>>>> Tu informacje o rozstrzygalności:
>>>> http://math.berkeley.edu/~scanlon/papers/dedfg1.pdf
>>>>
>>>> Tutaj 3 aksjomatyki opisane:
>>>> http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_axioms
>>>> http://en.wikipedia.org/wiki/Tarski%27s_axioms
>>>> http://en.wikipedia.org/wiki/Birkhoff%27s_axioms
>>>>
>>>> Tutaj cała książka Hilberta w której wprowadził swoją aksjomatykę:
>>>> ftp://ftp.pg.psnc.pl/pub/1/7/3/8/17384/17384-pdf.pdf
>>>>
>>>> A tutaj aksjomatyka Hilberta w języku polskim:
>>>> http://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomatyka_Hilberta
>>>>
>>>> To na wypadek gdybyś nie znał angielskiego. Jest ona sformułowana w
>>>> języku naturalnym, więc nie powinieneś mieć problemu z jej zrozumieniem.
>>>> Jednakże jeśli porównasz strony:
>>>> http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_axioms
>>>> i
>>>> http://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomatyka_Hilberta
>>>> to zauważysz że jak to zazwyczaj bywa polska strona jest do bani, bo
>>>> błędnie podaje aksjomat ciągłości, gdyż używa pojęcia liczby naturalnej,
>>>> którego w geometrii NIE MA.
>>>>
>>>> Informacje o aksjomatyce Tarskiego i jej rozwinięciach:
>>>> http://www.math.ucla.edu/~asl/bsl/0502/0502-002.ps
>>>>
>>>> Szczerze mówiąc ja bym tu użył aksjomatyki Tarskiego wzbogaconej o
>>>> mereologię. To mogłoby być dość ciekawe. Podejrzewam, że dostaniemy
>>>> system zawierający arytmetykę :-) Więc nie powinno być problemu z
>>>> formalizacją ZFC wewnątrz niego.
>>>>
>>>> Nadal jesteś zainteresowany zabawą z geometrią? To może być ciekawa
>>>> rozrywka... Jeśli tak, to możemy coś wymyslić :-D
>>> Piszesz "używa pojęcia liczby naturalnej, którego w geometrii NIE MA."
>>> Czym wobec tego wyskalowana jest oś liczbowa w geometrii
>>> jeśli NIE MA w geometrii pojęcia liczby naturalnej ? :-)
>> Liczby naturalne to dowolne obiekty spełniające aksjomaty arytmetyki.
>> Chodzi tu o to, że aby mówić o liczbach naturalnych musimy znaleźć
>> jakieś obiekty spełniające ich aksjomaty, a także odwzorować operacje
>> arytmetyki na operacje geometryczne. Nie wystarczy tylko wybrać
>> odpowiednich punktów, bo arytmetyka zawiera także operacje dodawania i
>> mnożenia. Dlatego dla geometrii bez żadnej teorii mnogości pojawiają się
>> problemy.
>> Weźmy aksjomaty arytmetyki z poniższej strony:
>> http://www.ltn.lv/~podnieks/gt3.html
>> Przepisałem je w innej notacji:
>>
>> P12) ALL x. ~0=x+1
>>
>> Dla każdego x nieprawda że zero jest równe następnikowi jakiejś liczby.
>>
>> P22) ALL x. ALL y. x+1=y+1 => x=y
>>
>> Dla dowolnych x,y x+1=y+1 implikuje x=y
>>
>> P32) ALL x. x+0=x
>>
>> P42) ALL x. ALL y. x+(y+1)=(x+y)+1
>>
>> P52) ALL x. x*0=0
>>
>> P62) ALL x. ALL y. x*(y+1)=(x*y)+x
>>
>> A to jest schemat aksjomatów indukcji. Podpada pod niego nieskończenie
>> wiele aksjomatów, gdyż jest to schemat dla dowolnej formuły języka
>> arytmetyki B(_)
>>
>> P72) ( B(0) & ALL x. (B(x)=>B(x+1)) ) => ALL x. B(x)
>>
>> B(_) - dowolna formuła języka arytmetyki, gdzie _ to jej wybrany parametr.
>> B(0) i
>> dla każdego x B(x) implikuje B(x+1)
>> implikuje
>> dla każdego x B(x)
>>
>> A więc, żeby mieć liczby musimy jakoś odwzorować mnożenie i indukcję. To
>> się nie uda dla geometrii bez jakiejś teorii mnogości, gdyż jest ona
>> rozstrzygalna, a arytmetyka nie jest. Rozstrzygalność polega na tym, że
>> istnieje algorytm pozwalający stwierdzić, czy dane zdanie jest
>> twierdzeniem danej teorii, czy nie. Inaczej mówiąc można napisać program
>> na komputerze, który byćmoże po bardzo długim, aczkolwiek skończonym
>> czasie odpowie na pytanie, czy dane twierdzenie jest dowodliwe, czy
>> raczej jego zaprzeczenie. A więc nie można włożyć teorii
>> nierozstrzygalnej do rozstrzygalnej, gdyż wtedy ta pierwsza byłaby
>> rozstrzygalna na gruncie drugiej. Ale jeśli dołozymy jakąś formę teorii
>> mnogości/typów itp. to prawdopodobnie wzmocnimy wystarczająco teorię.
>>
>>
>> Proste wyjaśnienie powyższego:
>>
>> Nawet jeśli wybierzesz pewne punkty na osi jako liczby naturalne nie
>> będziesz mógł zdefiniować operacji na nich. Geometria, bez mozliwości
>> mówienia o zbiorach punktów a tylko o samych punktach nie pozwoli na
>> zdefiniowanie wszystkich operacji na liczbach naturalnych. Aczkolwiek
>> jeśli dopuści się mówienie o zbiorach punktów, prawdopodobnie (zgaduję)
>> będzie możliwe zdefiniowanie tych operacji, a tym samym liczb naturalnych.
>>
> 
> Sprawdziłem, mnożenie jest definiowalne w geometrii. No cóż, to było
> jednak proste. Natomiast nie można wyróżnić zbioru liczb naturalnych w
> standardowej geometrii. Tym samym nie można zastosować aksjomatów tylko
> do tych obiektów, a dokładniej, nie można kwantyfikować tylko po
> liczbach naturalnych.
> 
> Dane:
> 1. książka HIlberta pokazuje jak zdefiniować liczby rzeczywiste. No cóż
> musiało mi coś paść na mózg, że nie pomyślałem, że przecież tam jest
> mnożenie.
> 2. http://math.berkeley.edu/~scanlon/papers/dedfg1.pdf - tu wskazana
> jest prawidłowa przyczyna - niemożność wyróżnienia liczb naturalnych.
>>> Edward Robak* z Nowej Huty
>>> ~>°<~
>>> miłośnik mądrości
>>> - -
>>> kopia na pl.sci.filozofia

Ha, a jednak to ja się pomyliłem. Porównałem oryginalne sformułowania
Hilberta i aksjomaty z polskiego wiki wzięte ze strony jakiegoś kursu
geometrii. Okazuje się, że geometria Hilberta rzeczywiście zakłada
liczby naturalne. Czyli do formalnego odwzorowania tej aksjomatyki
prawdopodobnie potrzebne są liczby naturalne ze względu na sformułowanie
aksjomatu Archimedesa. Możliwe, że da się to zrobić inaczej, ale
standardowe sformułowanie zawiera liczby naturalne. W oryginalnym
sformułowaniu Hilberta także występuje warunek, który jest zdefiniowany
indukcyjnie na ciągu. Jak widać aksjomatyka Hilberta jest trochę zbyt
rozbudowana jak na podstawową geometrię. Dlatego znacznie ciekawsza jest
tutaj aksjomatyka Tarskiego. Fajnie :-) Dowiedziałem się czegoś nowego.

A.L. pisze:
> On Wed, 15 Jul 2009 23:53:25 +0200, Mateusz Grotek
> <unoduetre@poczta.onet.pl> wrote:
> 
>> Robakks pisze:
> ]..\
>>> Edward Robak* z Nowej Huty
>>> ~>°<~
>>> miłośnik mądrości
>>> - -
>>> kopia na pl.sci.filozofia
> 
> 
> Rzeczywiscie musisz byc letnio rozleniwiony ze ci sie zebralo na takie
> dyskusje. 
> 
> A.L.
No. Chyba że masz coś ciekawszego, to możemy pogadać. Tak czy owak, mamy
przecież wakacje :-) (tzn. studenci). Też masz wakacje, czy musisz pracować?

On Thu, 16 Jul 2009 14:22:20 +0200, Mateusz Grotek
<unoduetre@poczta.onet.pl> wrote:

>A.L. pisze:
>> On Wed, 15 Jul 2009 23:53:25 +0200, Mateusz Grotek
>> <unoduetre@poczta.onet.pl> wrote:
>> 
>>> Robakks pisze:
>> ]..\
>>>> Edward Robak* z Nowej Huty
>>>> ~>°<~
>>>> miłośnik mądrości
>>>> - -
>>>> kopia na pl.sci.filozofia
>> 
>> 
>> Rzeczywiscie musisz byc letnio rozleniwiony ze ci sie zebralo na takie
>> dyskusje. 
>> 
>> A.L.
>No. Chyba że masz coś ciekawszego, to możemy pogadać. Tak czy owak, mamy
>przecież wakacje :-) (tzn. studenci). Też masz wakacje, czy musisz pracować?

Nie mam wakacji. Intersuje mnie zas teoria ograniczen, a szczegolnie
czy "constraints hierarchy" da sie zinterpretowac w ramach teorii
Bistarellego opartej na polpierscieniach.

A.L.

Użytkownik "Mateusz Grotek" <unoduetre@poczta.onet.pl> napisał w wiadomości

> A więc, żeby mieć liczby musimy jakoś odwzorować mnożenie i indukcję. To
> się nie uda dla geometrii bez jakiejś teorii mnogości, gdyż jest ona
> rozstrzygalna, a arytmetyka nie jest.

Logiczny wniosek. Niemniej, geometria ma 2500 lat
a teoria mnogości tylko 100 z hakiem.

"Mateusz Grotek" <unoduetre@poczta.onet.pl>
news:h3mk5d$9bc$1@news.onet.pl...
> Robakks pisze:

>> Gdy po wyłączeniu zapory AVG wchodzę na stronę, którą podałeś:
>> http://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomatyka_Hilberta
>> i czytam:
>>
>> Aksjomaty ciągłości
>>
>>   1. (Aksjomat Archimedesa): Dla danych odcinków AB i CD istnieje
>>      taka liczba naturalna n, że odkładając odcinek CD n-krotnie od
>>      punktu A na prostej AB, punkt końcowy przekroczy punkt B.
>>
>> - to widzę oś liczbową Kartezjusza, na której odcinek jednostkowy CD
>> odkładany jest na całej długości półprostej, a kolejne odcinki
>> zliczane są liczbami porządkowymi rozpoczynając od JEDEN.
>> Tak utworzone nazwy liczb porządkowych tworzą zbiór nazw.
>> Ten zbiór ma nazwę "zbiór liczb naturalnych N", bowiem półprosta
>> jest figurą naturalną, a odcinków CD nie odkłada się przecież
>> ponad ostatni element w tym zbiorze przeliczonym o nazwie oo.
>> Liczby porządkowe większe od oo nie występują w zbiorze N,
>> bowiem długości większe od oo, nie są naturalne w geometrii
>> klasycznej Świata jaki jest. :-)
>> Robakks
>> *°"˝'´¨˘`˙.^:;~>¤<×÷-.,˛¸
>> - -
>> Kasia = aleph0 [cm] < Kasia = aleph0 [km] :) <= TABU

> Dlatego napisałem, że polska strona na wiki jest do bani i wskazałem
> błędne sformułowanie tego aksjomatu. Porównaj sobie ze stroną
> angielską i aksjomatem o tym samym numerze, albo z oryginalną
> pracą Hilberta.
> Wikipedię każdy może edytować, więc pewnie ktoś sobie wyedytował...

Bardzo słuszna uwaga: "Wikipedię każdy może edytować"
i co ciekawsze:
każdy może edytować własną stronę w Internecie na dowolny temat,
np. ja pisząc tego posta edytuję stronę autorską
Wchodzę więc na stronę:
http://pl.wikipedia.org/wiki/O%C5%9B_liczbowa i czytam:

Kategoria: Geometria
    Oś liczbowa to prosta, na której wyróżniono kierunek i punkt O
    zwany zerowym oraz ustalono odcinek jednostkowy.

podany jest również rysunek na którym zliczane są kolejne odcinki
jednostkowe:
  -2    -1      0      1      2      3      4
 --|------|------|------|------|------|------|----> x

0      1
 |------|  <= to pierwszy odcinek dodatniej półosi

1      2
 |------|  <= to drugi odcinek dodatniej półosi

        n
 |------|  <= to n-ty odcinek dodatniej półosi

Jak widać geometria używa liczb porządkowych do zliczania ilości
geometrycznych obiektów.
Ten zbiór przeliczonych odcinków tworzących półoś dodatnią
jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych N.
To desygnat zbioru liczb naturalnych. :-)
To geometryczna interpretacja zbioru N nazwanego "nieskończony" oo,
tak jakby nie był dokończony i nie zawierał wszystkich możliwych
odcinków jednostkowych. :-)
Edward Robak* z Nowej Huty
~>°<~
miłośnik mądrości 

Robakks pisze:
> "Mateusz Grotek" <unoduetre@poczta.onet.pl>
> news:h3mk5d$9bc$1@news.onet.pl...
>> Robakks pisze:
> 
>>> Gdy po wyłączeniu zapory AVG wchodzę na stronę, którą podałeś:
>>> http://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomatyka_Hilberta
>>> i czytam:
>>>
>>> Aksjomaty ciągłości
>>>
>>>   1. (Aksjomat Archimedesa): Dla danych odcinków AB i CD istnieje
>>>      taka liczba naturalna n, że odkładając odcinek CD n-krotnie od
>>>      punktu A na prostej AB, punkt końcowy przekroczy punkt B.
>>>
>>> - to widzę oś liczbową Kartezjusza, na której odcinek jednostkowy CD
>>> odkładany jest na całej długości półprostej, a kolejne odcinki
>>> zliczane są liczbami porządkowymi rozpoczynając od JEDEN.
>>> Tak utworzone nazwy liczb porządkowych tworzą zbiór nazw.
>>> Ten zbiór ma nazwę "zbiór liczb naturalnych N", bowiem półprosta
>>> jest figurą naturalną, a odcinków CD nie odkłada się przecież
>>> ponad ostatni element w tym zbiorze przeliczonym o nazwie oo.
>>> Liczby porządkowe większe od oo nie występują w zbiorze N,
>>> bowiem długości większe od oo, nie są naturalne w geometrii
>>> klasycznej Świata jaki jest. :-)
>>> Robakks
>>> *°"˝'´¨˘`˙.^:;~>¤<×÷-.,˛¸
>>> - -
>>> Kasia = aleph0 [cm] < Kasia = aleph0 [km] :) <= TABU
> 
>> Dlatego napisałem, że polska strona na wiki jest do bani i wskazałem
>> błędne sformułowanie tego aksjomatu. Porównaj sobie ze stroną
>> angielską i aksjomatem o tym samym numerze, albo z oryginalną
>> pracą Hilberta.
>> Wikipedię każdy może edytować, więc pewnie ktoś sobie wyedytował...
> 
> Bardzo słuszna uwaga: "Wikipedię każdy może edytować"
> i co ciekawsze:
> każdy może edytować własną stronę w Internecie na dowolny temat,
> np. ja pisząc tego posta edytuję stronę autorską
> Wchodzę więc na stronę:
> http://pl.wikipedia.org/wiki/O%C5%9B_liczbowa i czytam:
> 
> Kategoria: Geometria
>    Oś liczbowa to prosta, na której wyróżniono kierunek i punkt O
>    zwany zerowym oraz ustalono odcinek jednostkowy.
> 
> podany jest również rysunek na którym zliczane są kolejne odcinki
> jednostkowe:
>  -2    -1      0      1      2      3      4
> --|------|------|------|------|------|------|----> x
> 
> 0      1
> |------|  <= to pierwszy odcinek dodatniej półosi
> 
> 1      2
> |------|  <= to drugi odcinek dodatniej półosi
> 
>        n
> |------|  <= to n-ty odcinek dodatniej półosi
> 
> Jak widać geometria używa liczb porządkowych do zliczania ilości
> geometrycznych obiektów.
> Ten zbiór przeliczonych odcinków tworzących półoś dodatnią
> jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych N.
> To desygnat zbioru liczb naturalnych. :-)
> To geometryczna interpretacja zbioru N nazwanego "nieskończony" oo,
> tak jakby nie był dokończony i nie zawierał wszystkich możliwych
> odcinków jednostkowych. :-)
> Edward Robak* z Nowej Huty
> ~>°<~
> miłośnik mądrości
Nie wiem czy czytałeś moje poprzednie posty. Tak, aksjomatyka Hilberta
zakłada liczby naturalne. Co innego aksjomatyka Tarskiego. Poza tym
wskazałem ci z czym jest problem jesli chodzi o liczby naturalne. Jeśli
chcesz mogę coś dokładniej wytłumaczyć...

A.L. pisze:
> On Thu, 16 Jul 2009 14:22:20 +0200, Mateusz Grotek
> <unoduetre@poczta.onet.pl> wrote:
> 
>> A.L. pisze:
>>> On Wed, 15 Jul 2009 23:53:25 +0200, Mateusz Grotek
>>> <unoduetre@poczta.onet.pl> wrote:
>>>
>>>> Robakks pisze:
>>> ]..\
>>>>> Edward Robak* z Nowej Huty
>>>>> ~>°<~
>>>>> miłośnik mądrości
>>>>> - -
>>>>> kopia na pl.sci.filozofia
>>>
>>> Rzeczywiscie musisz byc letnio rozleniwiony ze ci sie zebralo na takie
>>> dyskusje. 
>>>
>>> A.L.
>> No. Chyba że masz coś ciekawszego, to możemy pogadać. Tak czy owak, mamy
>> przecież wakacje :-) (tzn. studenci). Też masz wakacje, czy musisz pracować?
> 
> Nie mam wakacji. Intersuje mnie zas teoria ograniczen, a szczegolnie
> czy "constraints hierarchy" da sie zinterpretowac w ramach teorii
> Bistarellego opartej na polpierscieniach.
> 
> A.L.
Fajnie gdy praca i hobby to to samo. Niestety nie znam się na tym co
opisałeś. I nie wiem czy ta grupa jest miejscem do takich dyskusji ;-).
Choć może znajdzie się ktoś mający o tym jakieś pojęcie. Tak czy owak,
życzę miłej pracy/rozwijania zainteresowań. Pozdrawiam.

On Fri, 17 Jul 2009 13:03:58 +0200, Mateusz Grotek
<unoduetre@poczta.onet.pl> wrote:

> 
>Fajnie gdy praca i hobby to to samo.

Niestety jest to utopia. Albowiem gdy hobby zacznei sie wykonywac dla
pieniedzy, to okazuje sie ze do hobby dolaczane jest mnostwo "wymagan
pobocznych", ktore specjalnie interesujace nie sa, a wykonane byc
musza gdyz ktos za nie placi. Wiec dobrze jak hobby jest chociaz
kawalkiem tego co sie robi, bo w 100% nigdy nie jest. Najgorzej jednak
gdy zawartosc hobby w wykonywanej pracy wynosi 0% bo wtedy przychodzi
sie tylko obwiesic...

> Niestety nie znam się na tym co
>opisałeś. I nie wiem czy ta grupa jest miejscem do takich dyskusji ;-).

Nie jest. Tu sie dyskupuje o problemach fundamentalnych,
wstrzasajacych podstawami.

>Choć może znajdzie się ktoś mający o tym jakieś pojęcie. 

W Polsce jest dwoch ludzi o ile mi wiadomo. Jeden z nich pisuje na
usenecie

A.L.

"Mateusz Grotek" <unoduetre@poczta.onet.pl>
news:h3plme$2ai$1@news.onet.pl...
> Robakks pisze:
>> "Mateusz Grotek" <unoduetre@poczta.onet.pl>
>> news:h3mk5d$9bc$1@news.onet.pl...
>>> Robakks pisze:

>>>> Gdy po wyłączeniu zapory AVG wchodzę na stronę, którą podałeś:
>>>> http://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomatyka_Hilberta
>>>> i czytam:
>>>>
>>>> Aksjomaty ciągłości
>>>>
>>>>   1. (Aksjomat Archimedesa): Dla danych odcinków AB i CD istnieje
>>>>      taka liczba naturalna n, że odkładając odcinek CD n-krotnie od
>>>>      punktu A na prostej AB, punkt końcowy przekroczy punkt B.
>>>>
>>>> - to widzę oś liczbową Kartezjusza, na której odcinek jednostkowy CD
>>>> odkładany jest na całej długości półprostej, a kolejne odcinki
>>>> zliczane są liczbami porządkowymi rozpoczynając od JEDEN.
>>>> Tak utworzone nazwy liczb porządkowych tworzą zbiór nazw.
>>>> Ten zbiór ma nazwę "zbiór liczb naturalnych N", bowiem półprosta
>>>> jest figurą naturalną, a odcinków CD nie odkłada się przecież
>>>> ponad ostatni element w tym zbiorze przeliczonym o nazwie oo.
>>>> Liczby porządkowe większe od oo nie występują w zbiorze N,
>>>> bowiem długości większe od oo, nie są naturalne w geometrii
>>>> klasycznej Świata jaki jest. :-)
>>>> Robakks
>>>> *°"˝'´¨˘`˙.^:;~>¤<×÷-.,˛¸
>>>> - -
>>>> Kasia = aleph0 [cm] < Kasia = aleph0 [km] :) <= TABU

>>> Dlatego napisałem, że polska strona na wiki jest do bani i wskazałem
>>> błędne sformułowanie tego aksjomatu. Porównaj sobie ze stroną
>>> angielską i aksjomatem o tym samym numerze, albo z oryginalną
>>> pracą Hilberta.
>>> Wikipedię każdy może edytować, więc pewnie ktoś sobie wyedytował...

>> Bardzo słuszna uwaga: "Wikipedię każdy może edytować"
>> i co ciekawsze:
>> każdy może edytować własną stronę w Internecie na dowolny temat,
>> np. ja pisząc tego posta edytuję stronę autorską
>> Wchodzę więc na stronę:
>> http://pl.wikipedia.org/wiki/O%C5%9B_liczbowa i czytam:
>>
>> Kategoria: Geometria
>>    Oś liczbowa to prosta, na której wyróżniono kierunek i punkt O
>>    zwany zerowym oraz ustalono odcinek jednostkowy.
>>
>> podany jest również rysunek na którym zliczane są kolejne odcinki
>> jednostkowe:
>>  -2    -1      0      1      2      3      4
>> --|------|------|------|------|------|------|----> x
>>
>> 0      1
>> |------|  <= to pierwszy odcinek dodatniej półosi
>>
>> 1      2
>> |------|  <= to drugi odcinek dodatniej półosi
>>
>>        n
>> |------|  <= to n-ty odcinek dodatniej półosi
>>
>> Jak widać geometria używa liczb porządkowych do zliczania ilości
>> geometrycznych obiektów.
>> Ten zbiór przeliczonych odcinków tworzących półoś dodatnią
>> jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych N.
>> To desygnat zbioru liczb naturalnych. :-)
>> To geometryczna interpretacja zbioru N nazwanego "nieskończony" oo,
>> tak jakby nie był dokończony i nie zawierał wszystkich możliwych
>> odcinków jednostkowych. :-)
>> Edward Robak* z Nowej Huty
>> ~>°<~
>> miłośnik mądrości

> Nie wiem czy czytałeś moje poprzednie posty. Tak, aksjomatyka Hilberta
> zakłada liczby naturalne. Co innego aksjomatyka Tarskiego. Poza tym
> wskazałem ci z czym jest problem jesli chodzi o liczby naturalne. Jeśli
> chcesz mogę coś dokładniej wytłumaczyć...

Uważasz więc, że oś liczbowa Kartezjusza wraz z odłożonymi na niej
odcinkami jednostkowymi, przeliczonymi za pomocą liczb
porządkowych - nie stanowi zbioru?
mrEDI 

Robakks pisze:
> "Mateusz Grotek" <unoduetre@poczta.onet.pl>
> news:h3plme$2ai$1@news.onet.pl...
>> Robakks pisze:
>>> "Mateusz Grotek" <unoduetre@poczta.onet.pl>
>>> news:h3mk5d$9bc$1@news.onet.pl...
>>>> Robakks pisze:
> 
>>>>> Gdy po wyłączeniu zapory AVG wchodzę na stronę, którą podałeś:
>>>>> http://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomatyka_Hilberta
>>>>> i czytam:
>>>>>
>>>>> Aksjomaty ciągłości
>>>>>
>>>>>   1. (Aksjomat Archimedesa): Dla danych odcinków AB i CD istnieje
>>>>>      taka liczba naturalna n, że odkładając odcinek CD n-krotnie od
>>>>>      punktu A na prostej AB, punkt końcowy przekroczy punkt B.
>>>>>
>>>>> - to widzę oś liczbową Kartezjusza, na której odcinek jednostkowy CD
>>>>> odkładany jest na całej długości półprostej, a kolejne odcinki
>>>>> zliczane są liczbami porządkowymi rozpoczynając od JEDEN.
>>>>> Tak utworzone nazwy liczb porządkowych tworzą zbiór nazw.
>>>>> Ten zbiór ma nazwę "zbiór liczb naturalnych N", bowiem półprosta
>>>>> jest figurą naturalną, a odcinków CD nie odkłada się przecież
>>>>> ponad ostatni element w tym zbiorze przeliczonym o nazwie oo.
>>>>> Liczby porządkowe większe od oo nie występują w zbiorze N,
>>>>> bowiem długości większe od oo, nie są naturalne w geometrii
>>>>> klasycznej Świata jaki jest. :-)
>>>>> Robakks
>>>>> *°"˝'´¨˘`˙.^:;~>¤<×÷-.,˛¸
>>>>> - -
>>>>> Kasia = aleph0 [cm] < Kasia = aleph0 [km] :) <= TABU
> 
>>>> Dlatego napisałem, że polska strona na wiki jest do bani i wskazałem
>>>> błędne sformułowanie tego aksjomatu. Porównaj sobie ze stroną
>>>> angielską i aksjomatem o tym samym numerze, albo z oryginalną
>>>> pracą Hilberta.
>>>> Wikipedię każdy może edytować, więc pewnie ktoś sobie wyedytował...
> 
>>> Bardzo słuszna uwaga: "Wikipedię każdy może edytować"
>>> i co ciekawsze:
>>> każdy może edytować własną stronę w Internecie na dowolny temat,
>>> np. ja pisząc tego posta edytuję stronę autorską
>>> Wchodzę więc na stronę:
>>> http://pl.wikipedia.org/wiki/O%C5%9B_liczbowa i czytam:
>>>
>>> Kategoria: Geometria
>>>    Oś liczbowa to prosta, na której wyróżniono kierunek i punkt O
>>>    zwany zerowym oraz ustalono odcinek jednostkowy.
>>>
>>> podany jest również rysunek na którym zliczane są kolejne odcinki
>>> jednostkowe:
>>>  -2    -1      0      1      2      3      4
>>> --|------|------|------|------|------|------|----> x
>>>
>>> 0      1
>>> |------|  <= to pierwszy odcinek dodatniej półosi
>>>
>>> 1      2
>>> |------|  <= to drugi odcinek dodatniej półosi
>>>
>>>        n
>>> |------|  <= to n-ty odcinek dodatniej półosi
>>>
>>> Jak widać geometria używa liczb porządkowych do zliczania ilości
>>> geometrycznych obiektów.
>>> Ten zbiór przeliczonych odcinków tworzących półoś dodatnią
>>> jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych N.
>>> To desygnat zbioru liczb naturalnych. :-)
>>> To geometryczna interpretacja zbioru N nazwanego "nieskończony" oo,
>>> tak jakby nie był dokończony i nie zawierał wszystkich możliwych
>>> odcinków jednostkowych. :-)
>>> Edward Robak* z Nowej Huty
>>> ~>°<~
>>> miłośnik mądrości
> 
>> Nie wiem czy czytałeś moje poprzednie posty. Tak, aksjomatyka Hilberta
>> zakłada liczby naturalne. Co innego aksjomatyka Tarskiego. Poza tym
>> wskazałem ci z czym jest problem jesli chodzi o liczby naturalne. Jeśli
>> chcesz mogę coś dokładniej wytłumaczyć...
> 
> Uważasz więc, że oś liczbowa Kartezjusza wraz z odłożonymi na niej
> odcinkami jednostkowymi, przeliczonymi za pomocą liczb
> porządkowych - nie stanowi zbioru?
> mrEDI
Nie chodzi o uważanie lub nie. Aksjomatyka Tarskiego wyrażona w logice 1
rzędu, bez niczego dołożonego nie pozwala w ogóle mówić o zbiorach.
Dlatego nie możesz mówić o zbiorze liczb naturalnych. Trzeba by wziąć
aksjomatykę Tarskiego i wyrazić ją w logice 2, lub wyższego rzędu, lub
pozostając w logice 1 rzędu dołożyć zbiory jako obiekty pierwotne.

Spróbuję to prosto wytłumaczyć. Wyobraź sobie, że możesz mówić tylko o
punktach, a dodyspozycji masz tylko 2 relacje, które intuicyjnie oznaczają:
"odległość między punktami a i b jest taka sama jak między c i d"
"punkt b leży między punktami a i c"
Jak widzisz nie możesz za pomocą tych pojęć mówić o zbiorach, prostych
itd. A tylko te pojęcia występują w geometrii Tarskiego. To co
powiedziałem nie jest do końca ścisłe i poprawne, ale chciałem ci to
jakoś wyjaśnić prosto.

A.L. pisze:
> On Fri, 17 Jul 2009 13:03:58 +0200, Mateusz Grotek
> <unoduetre@poczta.onet.pl> wrote:
> 
>> Fajnie gdy praca i hobby to to samo.
> 
> Niestety jest to utopia. Albowiem gdy hobby zacznei sie wykonywac dla
> pieniedzy, to okazuje sie ze do hobby dolaczane jest mnostwo "wymagan
> pobocznych", ktore specjalnie interesujace nie sa, a wykonane byc
> musza gdyz ktos za nie placi. Wiec dobrze jak hobby jest chociaz
> kawalkiem tego co sie robi, bo w 100% nigdy nie jest. Najgorzej jednak
> gdy zawartosc hobby w wykonywanej pracy wynosi 0% bo wtedy przychodzi
> sie tylko obwiesic...
>

To prawda.

>> Niestety nie znam się na tym co
>> opisałeś. I nie wiem czy ta grupa jest miejscem do takich dyskusji ;-).
> 
> Nie jest. Tu sie dyskupuje o problemach fundamentalnych,
> wstrzasajacych podstawami.
>

:-D Wydaje mi się, że o poważnej nauce można dyskutować w internecie
tylko na listach tylko dla zaproszonych.

>> Choć może znajdzie się ktoś mający o tym jakieś pojęcie. 
> 
> W Polsce jest dwoch ludzi o ile mi wiadomo. Jeden z nich pisuje na
> usenecie
>

Dobrze, że jest choć jedna osoba oprócz ciebie w Polsce. Podejrzewam, że
wiele tematów w Polsce nie istnieje. Najgorzej, gdy nie istnieją całe
dziedziny. Ale to chyba nie jest najlepszy kraj do prowadzenia badań.
Nie ma pieniędzy. Z pensji uniwersyteckiej chyba ciężko się utrzymać,
trzeba dorabiać pozanaukowo. Jak jesteś studentem to jesteś dla
uniwersytetu śmieciem. Stypendia są niskie. Biblioteki są żałosne, prócz
kilku na najlepszych uniwersytetach. Podobnie nie stać uniwersytetów na
wykup dostępu do baz. Generalnie jest słabo. Jak wychodzi książka po
angielsku to jest na amazonie za koszmarną cenę na którą cię nie stać.

> A.L.

"Mateusz Grotek" <unoduetre@poczta.onet.pl>
news:h3qo5r$rh3$1@news.onet.pl...
> Robakks pisze:
>> "Mateusz Grotek" <unoduetre@poczta.onet.pl>
>> news:h3plme$2ai$1@news.onet.pl...
>>> Robakks pisze:

>>>> Wchodzę więc na stronę:
>>>> http://pl.wikipedia.org/wiki/O%C5%9B_liczbowa i czytam:
>>>>
>>>> Kategoria: Geometria
>>>>    Oś liczbowa to prosta, na której wyróżniono kierunek i punkt O
>>>>    zwany zerowym oraz ustalono odcinek jednostkowy.
>>>>
>>>> podany jest również rysunek na którym zliczane są kolejne odcinki
>>>> jednostkowe:
>>>>  -2    -1      0      1      2      3      4
>>>> --|------|------|------|------|------|------|----> x
>>>>
>>>> 0      1
>>>> |------|  <= to pierwszy odcinek dodatniej półosi
>>>>
>>>> 1      2
>>>> |------|  <= to drugi odcinek dodatniej półosi
>>>>
>>>>        n
>>>> |------|  <= to n-ty odcinek dodatniej półosi
>>>>
>>>> Jak widać geometria używa liczb porządkowych do zliczania ilości
>>>> geometrycznych obiektów.
>>>> Ten zbiór przeliczonych odcinków tworzących półoś dodatnią
>>>> jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych N.
>>>> To desygnat zbioru liczb naturalnych. :-)
>>>> To geometryczna interpretacja zbioru N nazwanego "nieskończony" oo,
>>>> tak jakby nie był dokończony i nie zawierał wszystkich możliwych
>>>> odcinków jednostkowych. :-)
>>>> Edward Robak* z Nowej Huty
>>>> ~>°<~
>>>> miłośnik mądrości

>>> Nie wiem czy czytałeś moje poprzednie posty. Tak, aksjomatyka Hilberta
>>> zakłada liczby naturalne. Co innego aksjomatyka Tarskiego. Poza tym
>>> wskazałem ci z czym jest problem jesli chodzi o liczby naturalne. Jeśli
>>> chcesz mogę coś dokładniej wytłumaczyć...

>> Uważasz więc, że oś liczbowa Kartezjusza wraz z odłożonymi na niej
>> odcinkami jednostkowymi, przeliczonymi za pomocą liczb
>> porządkowych - nie stanowi zbioru?
>> mrEDI

> Nie chodzi o uważanie lub nie. Aksjomatyka Tarskiego wyrażona w logice 1
> rzędu, bez niczego dołożonego nie pozwala w ogóle mówić o zbiorach.
> Dlatego nie możesz mówić o zbiorze liczb naturalnych. Trzeba by wziąć
> aksjomatykę Tarskiego i wyrazić ją w logice 2, lub wyższego rzędu, lub
> pozostając w logice 1 rzędu dołożyć zbiory jako obiekty pierwotne.
>
> Spróbuję to prosto wytłumaczyć. Wyobraź sobie, że możesz mówić tylko o
> punktach, a dodyspozycji masz tylko 2 relacje, które intuicyjnie 
> oznaczają:
> "odległość między punktami a i b jest taka sama jak między c i d"
> "punkt b leży między punktami a i c"
> Jak widzisz nie możesz za pomocą tych pojęć mówić o zbiorach, prostych
> itd. A tylko te pojęcia występują w geometrii Tarskiego. To co
> powiedziałem nie jest do końca ścisłe i poprawne, ale chciałem ci to
> jakoś wyjaśnić prosto.

Pięciobok ma 5 boków, sześciobok ma 6 boków, n-bok ma n boków
i są to geometryczne prawidła znane od starożytności, a więc od czasów
gdy zaczęto używać liczb całkowitych do wyliczania ilości.
Ilość boków (nie chodzi o punkty).
Geometria używa liczb naturalnych od zawsze.
Robakks
*°"˝'´¨˘`˙.^:;~>¤<×÷-.,˛¸ 

Robakks pisze:
> "Mateusz Grotek" <unoduetre@poczta.onet.pl>
> news:h3qo5r$rh3$1@news.onet.pl...
>> Robakks pisze:
>>> "Mateusz Grotek" <unoduetre@poczta.onet.pl>
>>> news:h3plme$2ai$1@news.onet.pl...
>>>> Robakks pisze:
> 
>>>>> Wchodzę więc na stronę:
>>>>> http://pl.wikipedia.org/wiki/O%C5%9B_liczbowa i czytam:
>>>>>
>>>>> Kategoria: Geometria
>>>>>    Oś liczbowa to prosta, na której wyróżniono kierunek i punkt O
>>>>>    zwany zerowym oraz ustalono odcinek jednostkowy.
>>>>>
>>>>> podany jest również rysunek na którym zliczane są kolejne odcinki
>>>>> jednostkowe:
>>>>>  -2    -1      0      1      2      3      4
>>>>> --|------|------|------|------|------|------|----> x
>>>>>
>>>>> 0      1
>>>>> |------|  <= to pierwszy odcinek dodatniej półosi
>>>>>
>>>>> 1      2
>>>>> |------|  <= to drugi odcinek dodatniej półosi
>>>>>
>>>>>        n
>>>>> |------|  <= to n-ty odcinek dodatniej półosi
>>>>>
>>>>> Jak widać geometria używa liczb porządkowych do zliczania ilości
>>>>> geometrycznych obiektów.
>>>>> Ten zbiór przeliczonych odcinków tworzących półoś dodatnią
>>>>> jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych N.
>>>>> To desygnat zbioru liczb naturalnych. :-)
>>>>> To geometryczna interpretacja zbioru N nazwanego "nieskończony" oo,
>>>>> tak jakby nie był dokończony i nie zawierał wszystkich możliwych
>>>>> odcinków jednostkowych. :-)
>>>>> Edward Robak* z Nowej Huty
>>>>> ~>°<~
>>>>> miłośnik mądrości
> 
>>>> Nie wiem czy czytałeś moje poprzednie posty. Tak, aksjomatyka Hilberta
>>>> zakłada liczby naturalne. Co innego aksjomatyka Tarskiego. Poza tym
>>>> wskazałem ci z czym jest problem jesli chodzi o liczby naturalne. Jeśli
>>>> chcesz mogę coś dokładniej wytłumaczyć...
> 
>>> Uważasz więc, że oś liczbowa Kartezjusza wraz z odłożonymi na niej
>>> odcinkami jednostkowymi, przeliczonymi za pomocą liczb
>>> porządkowych - nie stanowi zbioru?
>>> mrEDI
> 
>> Nie chodzi o uważanie lub nie. Aksjomatyka Tarskiego wyrażona w logice 1
>> rzędu, bez niczego dołożonego nie pozwala w ogóle mówić o zbiorach.
>> Dlatego nie możesz mówić o zbiorze liczb naturalnych. Trzeba by wziąć
>> aksjomatykę Tarskiego i wyrazić ją w logice 2, lub wyższego rzędu, lub
>> pozostając w logice 1 rzędu dołożyć zbiory jako obiekty pierwotne.
>>
>> Spróbuję to prosto wytłumaczyć. Wyobraź sobie, że możesz mówić tylko o
>> punktach, a dodyspozycji masz tylko 2 relacje, które intuicyjnie
>> oznaczają:
>> "odległość między punktami a i b jest taka sama jak między c i d"
>> "punkt b leży między punktami a i c"
>> Jak widzisz nie możesz za pomocą tych pojęć mówić o zbiorach, prostych
>> itd. A tylko te pojęcia występują w geometrii Tarskiego. To co
>> powiedziałem nie jest do końca ścisłe i poprawne, ale chciałem ci to
>> jakoś wyjaśnić prosto.
> 
> Pięciobok ma 5 boków, sześciobok ma 6 boków, n-bok ma n boków
> i są to geometryczne prawidła znane od starożytności, a więc od czasów
> gdy zaczęto używać liczb całkowitych do wyliczania ilości.
> Ilość boków (nie chodzi o punkty).
> Geometria używa liczb naturalnych od zawsze.

Jeśli chodzi o względy historyczne grecy nie używali liczb w geometrii,
tylko właśnie konstrukcje geometryczne. Na przykład nie używali wzorów,
tylko konstruowali pewne figury mające pewne własności. Oczywiście mieli
oni intuicyjne pojęcie liczby. Ale z tego co wiem to nie operowali
wzorami itd.

Natomiast co ciekawe możesz mówić o pięciu punktach w logice 1 rzędu.
Nie możesz tylko mówić o samych liczbach, ani na przykład nie możesz
powiedzieć: "dla przeliczalnie wielu punktów". Inaczej mówiąc, nie
możesz traktować liczb jako obiektów, a jedynie jako skrótowe sposoby
mówienia o obiektach. Przykład:
"Istnieją trzy obiekty"
jest skrótowym zapisem
"Istnieje a, istnieje b,  istnieje c takie, że a różne od b i a różne od
c i b różne od c i dla każdego d d równe a lub d równe b lub d równe c"
Jednak nie możesz mówić o samych abstrakcyjnych liczbach. Żeby mówić o
liczbach jako obiektach, musisz je jakoś zaksjomatyzować, co zrobił
Peano. Dlatego w samej geometrii Tarskiego nie ma liczb, gdyż ona mówi
tylko o punktach, aczkolwiek możesz mówić o różnej ilości punktów.

> Robakks
> *°"˝'´¨˘`˙.^:;~>¤<×÷-.,˛¸

Mateusz Grotek pisze:
> Robakks pisze:
>> "Mateusz Grotek" <unoduetre@poczta.onet.pl>
>> news:h3qo5r$rh3$1@news.onet.pl...
>>> Robakks pisze:
>>>> "Mateusz Grotek" <unoduetre@poczta.onet.pl>
>>>> news:h3plme$2ai$1@news.onet.pl...
>>>>> Robakks pisze:
>>>>>> Wchodzę więc na stronę:
>>>>>> http://pl.wikipedia.org/wiki/O%C5%9B_liczbowa i czytam:
>>>>>>
>>>>>> Kategoria: Geometria
>>>>>>    Oś liczbowa to prosta, na której wyróżniono kierunek i punkt O
>>>>>>    zwany zerowym oraz ustalono odcinek jednostkowy.
>>>>>>
>>>>>> podany jest również rysunek na którym zliczane są kolejne odcinki
>>>>>> jednostkowe:
>>>>>>  -2    -1      0      1      2      3      4
>>>>>> --|------|------|------|------|------|------|----> x
>>>>>>
>>>>>> 0      1
>>>>>> |------|  <= to pierwszy odcinek dodatniej półosi
>>>>>>
>>>>>> 1      2
>>>>>> |------|  <= to drugi odcinek dodatniej półosi
>>>>>>
>>>>>>        n
>>>>>> |------|  <= to n-ty odcinek dodatniej półosi
>>>>>>
>>>>>> Jak widać geometria używa liczb porządkowych do zliczania ilości
>>>>>> geometrycznych obiektów.
>>>>>> Ten zbiór przeliczonych odcinków tworzących półoś dodatnią
>>>>>> jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych N.
>>>>>> To desygnat zbioru liczb naturalnych. :-)
>>>>>> To geometryczna interpretacja zbioru N nazwanego "nieskończony" oo,
>>>>>> tak jakby nie był dokończony i nie zawierał wszystkich możliwych
>>>>>> odcinków jednostkowych. :-)
>>>>>> Edward Robak* z Nowej Huty
>>>>>> ~>°<~
>>>>>> miłośnik mądrości
>>>>> Nie wiem czy czytałeś moje poprzednie posty. Tak, aksjomatyka Hilberta
>>>>> zakłada liczby naturalne. Co innego aksjomatyka Tarskiego. Poza tym
>>>>> wskazałem ci z czym jest problem jesli chodzi o liczby naturalne. Jeśli
>>>>> chcesz mogę coś dokładniej wytłumaczyć...
>>>> Uważasz więc, że oś liczbowa Kartezjusza wraz z odłożonymi na niej
>>>> odcinkami jednostkowymi, przeliczonymi za pomocą liczb
>>>> porządkowych - nie stanowi zbioru?
>>>> mrEDI
>>> Nie chodzi o uważanie lub nie. Aksjomatyka Tarskiego wyrażona w logice 1
>>> rzędu, bez niczego dołożonego nie pozwala w ogóle mówić o zbiorach.
>>> Dlatego nie możesz mówić o zbiorze liczb naturalnych. Trzeba by wziąć
>>> aksjomatykę Tarskiego i wyrazić ją w logice 2, lub wyższego rzędu, lub
>>> pozostając w logice 1 rzędu dołożyć zbiory jako obiekty pierwotne.
>>>
>>> Spróbuję to prosto wytłumaczyć. Wyobraź sobie, że możesz mówić tylko o
>>> punktach, a dodyspozycji masz tylko 2 relacje, które intuicyjnie
>>> oznaczają:
>>> "odległość między punktami a i b jest taka sama jak między c i d"
>>> "punkt b leży między punktami a i c"
>>> Jak widzisz nie możesz za pomocą tych pojęć mówić o zbiorach, prostych
>>> itd. A tylko te pojęcia występują w geometrii Tarskiego. To co
>>> powiedziałem nie jest do końca ścisłe i poprawne, ale chciałem ci to
>>> jakoś wyjaśnić prosto.
>> Pięciobok ma 5 boków, sześciobok ma 6 boków, n-bok ma n boków
>> i są to geometryczne prawidła znane od starożytności, a więc od czasów
>> gdy zaczęto używać liczb całkowitych do wyliczania ilości.
>> Ilość boków (nie chodzi o punkty).
>> Geometria używa liczb naturalnych od zawsze.
> 
> Jeśli chodzi o względy historyczne grecy nie używali liczb w geometrii,
> tylko właśnie konstrukcje geometryczne. Na przykład nie używali wzorów,
> tylko konstruowali pewne figury mające pewne własności. Oczywiście mieli
> oni intuicyjne pojęcie liczby. Ale z tego co wiem to nie operowali
> wzorami itd.
> 
> Natomiast co ciekawe możesz mówić o pięciu punktach w logice 1 rzędu.
> Nie możesz tylko mówić o samych liczbach, ani na przykład nie możesz
> powiedzieć: "dla przeliczalnie wielu punktów". Inaczej mówiąc, nie
> możesz traktować liczb jako obiektów, a jedynie jako skrótowe sposoby
> mówienia o obiektach. Przykład:
> "Istnieją trzy obiekty"
> jest skrótowym zapisem
> "Istnieje a, istnieje b,  istnieje c takie, że a różne od b i a różne od
> c i b różne od c i dla każdego d d równe a lub d równe b lub d równe c"
> Jednak nie możesz mówić o samych abstrakcyjnych liczbach. Żeby mówić o
> liczbach jako obiektach, musisz je jakoś zaksjomatyzować, co zrobił
> Peano. Dlatego w samej geometrii Tarskiego nie ma liczb, gdyż ona mówi
> tylko o punktach, aczkolwiek możesz mówić o różnej ilości punktów.
> 

A mówiąc jeszcze dokładniej, nie możesz kwantyfikować po liczbach. Czyli
nie możesz używać zwrotów w rodzaju: "dla każdej liczby n" i "dla pewnej
liczby n" itd.
>> Robakks
>> *°"˝'´¨˘`˙.^:;~>¤<×÷-.,˛¸

Użytkownik "Mateusz Grotek" <unoduetre@poczta.onet.pl> napisał w wiadomości 
news:h3k77e$d69$1@news.onet.pl...
> Hejka. Postanowiłem założyć nowy wątek, bo tamten dotyczył troszkę
> czegoś innego. Czyli co, chcesz stworzyć translację teorii mnogości na
> geometrię? Pomysł ciekawy, ale pojawi się problem. Geometria w
>

W poprzednim watku chyba nie uzgodnilismy co rozumiemy przez topologie: ja 
mam na mysli geometrie w ktorej niezmiennikiem jest odwzorownie ciągłe. Stad 
moze tak cie zaskoczylo, ze teorie mnogosci nazwalem geometria: nie wiem czy 
nie pojde zbyt daleko, ale TM nazwalbym geometria w ktorej niezmiennikiem są 
odwozrowania równoliczne. Inaczej mowiac dwa zbiory rownoliczne sa dla TM 
tym samym (z dokladnoscią do tego odwzorowania), tak samo jak dwie 
przestrzenie topolog., ktore mozna przeksztalcic na siebie w sposob ciągly 
są tym samym z dokladnoscia do tegoz odwozrownia. W przypadku np. 
przestrzeni metrycznych nie wystarczy sama ciaglosc - trzeba jeszcze 
izometriii zachowujacej odleglosci miedzy odpowiadajacymi sobie.

Jak widzisz powstaje naturalny ciąg geometrii
Topologia zawiera Geom. Metryczna zawiera Geometrie rozniczkowa (i kupe 
innych)
Na poczatku tego ciagu jest topologia, ale moim zdaniem (i nie tylko bo 
zapewniam cie ze matematycy tez tak mysla  patrz. - teoria kategorii) na 
poczatku jest teoria mnogosci i ona zawiera topologie i wszystkie inne 
geometrie, gdyz jest najprostsza i wlasciwie niczego od niezmiennika tej 
"geometrii" sie nie wymaga poza rownolicznoscią.

To tyle bo na Tarskim sie nie znam ;) 

root pisze:
root pisze:
> U�ytkownik "Mateusz Grotek" <unoduetre@poczta.onet.pl> napisa� w wiadomo�ci 
> news:h3k77e$d69$1@news.onet.pl...
>> Hejka. Postanowi�em za�o�y� nowy w�tek, bo tamten dotyczy� troszk�
>> czego� innego. Czyli co, chcesz stworzy� translacj� teorii mnogo�ci na
>> geometri�? Pomys� ciekawy, ale pojawi si� problem. Geometria w
>>
> 
> W poprzednim watku chyba nie uzgodnilismy co rozumiemy przez topologie: ja 
> mam na mysli geometrie w ktorej niezmiennikiem jest odwzorownie ci�g�e. Stad 
> moze tak cie zaskoczylo, ze teorie mnogosci nazwalem geometria: nie wiem czy 
> nie pojde zbyt daleko, ale TM nazwalbym geometria w ktorej niezmiennikiem s� 
> odwozrowania r�wnoliczne. Inaczej mowiac dwa zbiory rownoliczne sa dla TM 
> tym samym (z dokladnosci� do tego odwzorowania), tak samo jak dwie 
> przestrzenie topolog., ktore mozna przeksztalcic na siebie w sposob ci�gly 
> s� tym samym z dokladnoscia do tegoz odwozrownia. W przypadku np. 
> przestrzeni metrycznych nie wystarczy sama ciaglosc - trzeba jeszcze 
> izometriii zachowujacej odleglosci miedzy odpowiadajacymi sobie.
> 
> Jak widzisz powstaje naturalny ci�g geometrii
> Topologia zawiera Geom. Metryczna zawiera Geometrie rozniczkowa (i kupe 
> innych)
> Na poczatku tego ciagu jest topologia, ale moim zdaniem (i nie tylko bo 
> zapewniam cie ze matematycy tez tak mysla  patrz. - teoria kategorii) na 
> poczatku jest teoria mnogosci i ona zawiera topologie i wszystkie inne 
> geometrie, gdyz jest najprostsza i wlasciwie niczego od niezmiennika tej 
> "geometrii" sie nie wymaga poza rownolicznosci�.
> 
> To tyle bo na Tarskim sie nie znam ;) 
> 
> 

> U�ytkownik "Mateusz Grotek" <unoduetre@poczta.onet.pl> napisa� w wiadomo�ci 
> news:h3k77e$d69$1@news.onet.pl...
>> Hejka. Postanowi�em za�o�y� nowy w�tek, bo tamten dotyczy� troszk�
>> czego� innego. Czyli co, chcesz stworzy� translacj� teorii mnogo�ci na
>> geometri�? Pomys� ciekawy, ale pojawi si� problem. Geometria w
>>
> 
> W poprzednim watku chyba nie uzgodnilismy co rozumiemy przez topologie: ja 
> mam na mysli geometrie w ktorej niezmiennikiem jest odwzorownie ci�g�e. Stad 
> moze tak cie zaskoczylo, ze teorie mnogosci nazwalem geometria: nie wiem czy 
> nie pojde zbyt daleko, ale TM nazwalbym geometria w ktorej niezmiennikiem s� 
> odwozrowania r�wnoliczne. Inaczej mowiac dwa zbiory rownoliczne sa dla TM 
> tym samym (z dokladnosci� do tego odwzorowania), tak samo jak dwie 
> przestrzenie topolog., ktore mozna przeksztalcic na siebie w sposob ci�gly 
> s� tym samym z dokladnoscia do tegoz odwozrownia. W przypadku np. 
> przestrzeni metrycznych nie wystarczy sama ciaglosc - trzeba jeszcze 
> izometriii zachowujacej odleglosci miedzy odpowiadajacymi sobie.
> 
> Jak widzisz powstaje naturalny ci�g geometrii
> Topologia zawiera Geom. Metryczna zawiera Geometrie rozniczkowa (i kupe 
> innych)
> Na poczatku tego ciagu jest topologia, ale moim zdaniem (i nie tylko bo 
> zapewniam cie ze matematycy tez tak mysla  patrz. - teoria kategorii) na 
> poczatku jest teoria mnogosci i ona zawiera topologie i wszystkie inne 
> geometrie, gdyz jest najprostsza i wlasciwie niczego od niezmiennika tej 
> "geometrii" sie nie wymaga poza rownolicznosci�.
> 
> To tyle bo na Tarskim sie nie znam ;) 
> 
> 

A ja mam na myśli topologię jako teorię przestrzeni topologicznych, choć
nie tylko. Użycie nazwy geometria na teorię mnogości uważam za
nadużycie. Sprawdzałem tą książkę Dudy (mam ją przed sobą) i nie
znalazłem takiego określenia geometrii. Zgadzam się, że na początku jest
teoria mnogości, ale to nie dowodzi, że to jest geometria. Trudniej
zdefiniować czym zajmuje się geometria. Cytat z książki "Algebra liniowa
 z geometrią" Andrzeja Białynickiego-Biruli str. 363:
"Istnieje szereg sposobów nadawania struktury geometrycznej zbiorom
abstrakcyjnym. Jeden z tych sposobów polega na wprowadzeniu na danym
zbiorze struktury przestrzeni afinicznej, liniowej lub ortogonalnej,
inny na określeniu struktury metrycznej (tj wprowadzeniu odległości).
...
Mówimy, że na zbiorze A określona jest struktura geometryczna w sensie
Kleina, jeśli została wyróżniona pewna grupa przekształceń tego zbioru.
...
Teoria niezmienników danego obiektu geometrycznego w sensie Kleina
nazywa się geometrią tego obiektu."

A przecież teoria mnogości nie zajmuje się TYLKO bijekcjami zbiorów w
siebie...
Zgadza się, że teoria mnogości zajmuje się TAKŻE bijekcjami zbiorów w
siebie.

> A ja mam na myśli topologię jako teorię przestrzeni topologicznych, choć
> nie tylko. Użycie nazwy geometria na teorię mnogości uważam za
> nadużycie. Sprawdzałem tą książkę Dudy (mam ją przed sobą) i nie
> znalazłem takiego określenia geometrii. Zgadzam się, że na początku jest
> teoria mnogości, ale to nie dowodzi, że to jest geometria. Trudniej
> zdefiniować czym zajmuje się geometria. Cytat z książki "Algebra liniowa
> z geometrią" Andrzeja Białynickiego-Biruli str. 363:
> "Istnieje szereg sposobów nadawania struktury geometrycznej zbiorom
> abstrakcyjnym. Jeden z tych sposobów polega na wprowadzeniu na danym
> zbiorze struktury przestrzeni afinicznej, liniowej lub ortogonalnej,
> inny na określeniu struktury metrycznej (tj wprowadzeniu odległości).
> ...
> Mówimy, że na zbiorze A określona jest struktura geometryczna w sensie
> Kleina, jeśli została wyróżniona pewna grupa przekształceń tego zbioru.
> ...
> Teoria niezmienników danego obiektu geometrycznego w sensie Kleina
> nazywa się geometrią tego obiektu."
>
> A przecież teoria mnogości nie zajmuje się TYLKO bijekcjami zbiorów w
> siebie...
> Zgadza się, że teoria mnogości zajmuje się TAKŻE bijekcjami zbiorów w
> siebie.

Rzeczywiscie Duda nic nie pisze o tym ze teorie mnogosci mozna traktowac jak 
geometrię (gdzieś o tym czytałem ale teraz już nie pamiętam gdzie) Z drugiej 
strony, czy nie przekonuje cię ten ciąg:
bijekcja->bijekcja+ciągłość->bijekcja+różniczkowalność
To przecież są kolejne, coraz mniej ogólne geometrie. W sumie jak zwał tak 
zwał.
Nie chce mi się już ciągnąć tego wątku. Nie dotyczy to samego wątku ani 
Ciebie ale pojawiają się tu co rusz różni "uczeni w piśmie" i przywołują 
mnie do porządku. To przykre i takie typowo polskie. 

"Mateusz Grotek" <unoduetre@poczta.onet.pl>
news:h3r011$rh3$4@news.onet.pl...
> Mateusz Grotek pisze:
>> Robakks pisze:

>>> Pięciobok ma 5 boków, sześciobok ma 6 boków, n-bok ma
>>> n boków i są to geometryczne prawidła znane od starożytności,
>>> a więc od czasów gdy zaczęto używać liczb całkowitych do
>>> wyliczania ilości.
>>> Ilość boków (nie chodzi o punkty).
>>> Geometria używa liczb naturalnych od zawsze.
>>> Robakks
>>> *°"˝'´¨˘`˙.^:;~>¤<×÷-.,˛¸

>> Jeśli chodzi o względy historyczne grecy nie używali liczb w geometrii,
>> tylko właśnie konstrukcje geometryczne. Na przykład nie używali wzorów,
>> tylko konstruowali pewne figury mające pewne własności. Oczywiście mieli
>> oni intuicyjne pojęcie liczby. Ale z tego co wiem to nie operowali
>> wzorami itd.
>>
>> Natomiast co ciekawe możesz mówić o pięciu punktach w logice 1 rzędu.
>> Nie możesz tylko mówić o samych liczbach, ani na przykład nie możesz
>> powiedzieć: "dla przeliczalnie wielu punktów". Inaczej mówiąc, nie
>> możesz traktować liczb jako obiektów, a jedynie jako skrótowe sposoby
>> mówienia o obiektach. Przykład:
>> "Istnieją trzy obiekty"
>> jest skrótowym zapisem
>> "Istnieje a, istnieje b,  istnieje c takie, że a różne od b i a różne od
>> c i b różne od c i dla każdego d d równe a lub d równe b lub d równe c"
>> Jednak nie możesz mówić o samych abstrakcyjnych liczbach. Żeby mówić o
>> liczbach jako obiektach, musisz je jakoś zaksjomatyzować, co zrobił
>> Peano. Dlatego w samej geometrii Tarskiego nie ma liczb, gdyż ona mówi
>> tylko o punktach, aczkolwiek możesz mówić o różnej ilości punktów.
>>
>
> A mówiąc jeszcze dokładniej, nie możesz kwantyfikować po liczbach. Czyli
> nie możesz używać zwrotów w rodzaju: "dla każdej liczby n" i "dla pewnej
> liczby n" itd.

Są trójboki i trójkąty, czworoboki i czworokąty, a nie ma
figury pośredniej na przykład 3,75 boku, albo 3,25 kąta. :-)
PS. W Krakowie leje deszcz. :)
Edward Robak* z Nowej Huty
~>°<~
miłośnik mądrości