🚀 go-pugleaf

"Mateusz Grotek" <unoduetre@poczta.onet.pl>
news:h3lj65$vg9$1@news.onet.pl...
> Robakks pisze:

>>> http://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomatyka_Hilberta
>>> to zauważysz że jak to zazwyczaj bywa polska strona jest do bani, bo
>>> błędnie podaje aksjomat ciągłości, gdyż używa pojęcia liczby naturalnej,
>>> którego w geometrii NIE MA.

>> Piszesz "używa pojęcia liczby naturalnej, którego w geometrii NIE MA."
>> Czym wobec tego wyskalowana jest oś liczbowa w geometrii
>> jeśli NIE MA w geometrii pojęcia liczby naturalnej ? :-)
>> Edward Robak* z Nowej Huty
>> ~>°<~
>> miłośnik mądrości
>> - -
>> kopia na pl.sci.filozofia

> Liczby naturalne to dowolne obiekty spełniające aksjomaty arytmetyki.
> Chodzi tu o to, że aby mówić o liczbach naturalnych musimy znaleźć
> jakieś obiekty spełniające ich aksjomaty, a także odwzorować operacje
> arytmetyki na operacje geometryczne. Nie wystarczy tylko wybrać
> odpowiednich punktów, bo arytmetyka zawiera także operacje
> dodawania i mnożenia. Dlatego dla geometrii bez żadnej teorii
> mnogości pojawiają się problemy.
> Weźmy aksjomaty arytmetyki z poniższej strony:
> http://www.ltn.lv/~podnieks/gt3.html
> Przepisałem je w innej notacji:
>
> P12) ALL x. ~0=x+1
>
> Dla każdego x nieprawda że zero jest równe następnikowi jakiejś liczby.
>
> P22) ALL x. ALL y. x+1=y+1 => x=y
>
> Dla dowolnych x,y x+1=y+1 implikuje x=y
>
> P32) ALL x. x+0=x
>
> P42) ALL x. ALL y. x+(y+1)=(x+y)+1
>
> P52) ALL x. x*0=0
>
> P62) ALL x. ALL y. x*(y+1)=(x*y)+x
>
> A to jest schemat aksjomatów indukcji. Podpada pod niego
> nieskończenie wiele aksjomatów, gdyż jest to schemat dla dowolnej
> formuły języka arytmetyki B(_)
>
> P72) ( B(0) & ALL x. (B(x)=>B(x+1)) ) => ALL x. B(x)
>
> B(_) - dowolna formuła języka arytmetyki, gdzie _ to jej wybrany parametr.
> B(0) i
> dla każdego x B(x) implikuje B(x+1)
> implikuje
> dla każdego x B(x)
>
> A więc, żeby mieć liczby musimy jakoś odwzorować mnożenie i indukcję.
> To się nie uda dla geometrii bez jakiejś teorii mnogości, gdyż jest ona
> rozstrzygalna, a arytmetyka nie jest. Rozstrzygalność polega na tym, że
> istnieje algorytm pozwalający stwierdzić, czy dane zdanie jest
> twierdzeniem danej teorii, czy nie. Inaczej mówiąc można napisać
> program na komputerze, który byćmoże po bardzo długim, aczkolwiek
> skończonym czasie odpowie na pytanie, czy dane twierdzenie jest
> dowodliwe, czy raczej jego zaprzeczenie. A więc nie można włożyć teorii
> nierozstrzygalnej do rozstrzygalnej, gdyż wtedy ta pierwsza byłaby
> rozstrzygalna na gruncie drugiej. Ale jeśli dołozymy jakąś formę teorii
> mnogości/typów itp. to prawdopodobnie wzmocnimy wystarczająco teorię.
>
>
> Proste wyjaśnienie powyższego:
>
> Nawet jeśli wybierzesz pewne punkty na osi jako liczby naturalne nie
> będziesz mógł zdefiniować operacji na nich. Geometria, bez mozliwości
> mówienia o zbiorach punktów a tylko o samych punktach nie pozwoli na
> zdefiniowanie wszystkich operacji na liczbach naturalnych. Aczkolwiek
> jeśli dopuści się mówienie o zbiorach punktów, prawdopodobnie
> (zgaduję) będzie możliwe zdefiniowanie tych operacji, a tym samym
> liczb naturalnych.

Gdy po wyłączeniu zapory AVG wchodzę na stronę, którą podałeś:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomatyka_Hilberta
i czytam:

 Aksjomaty ciągłości

   1. (Aksjomat Archimedesa): Dla danych odcinków AB i CD istnieje
      taka liczba naturalna n, że odkładając odcinek CD n-krotnie od
      punktu A na prostej AB, punkt końcowy przekroczy punkt B.

- to widzę oś liczbową Kartezjusza, na której odcinek jednostkowy CD
odkładany jest na całej długości półprostej, a kolejne odcinki
zliczane są liczbami porządkowymi rozpoczynając od JEDEN.
Tak utworzone nazwy liczb porządkowych tworzą zbiór nazw.
Ten zbiór ma nazwę "zbiór liczb naturalnych N", bowiem półprosta
jest figurą naturalną, a odcinków CD nie odkłada się przecież
ponad ostatni element w tym zbiorze przeliczonym o nazwie oo.
Liczby porządkowe większe od oo nie występują w zbiorze N,
bowiem długości większe od oo, nie są naturalne w geometrii
klasycznej Świata jaki jest. :-)
Robakks
*°"˝'´¨˘`˙.^:;~>¤<×÷-.,˛¸
- -
Kasia = aleph0 [cm] < Kasia = aleph0 [km] :) <= TABU