🚀 go-pugleaf

Mateusz Grotek pisze:
> Robakks pisze:
>>  z alt.pl.matematyka
>> "Mateusz Grotek" <unoduetre@poczta.onet.pl>
>> news:h3k77e$d69$1@news.onet.pl...
>>
>>> Hejka. Postanowiłem założyć nowy wątek, bo tamten dotyczył troszkę
>>> czegoś innego. Czyli co, chcesz stworzyć translację teorii mnogości na
>>> geometrię? Pomysł ciekawy, ale pojawi się problem. Geometria w
>>> aksjomatyce Tarskiego w logice 1 rzędu jest rozstrzygalna, a poza tym
>>> nie potrafi kwantyfikować po zbiorach/predykatach punktów/linii etc. Ale
>>> możemy użyć jakiejś innej aksjomatyki. Na przykład aksjomatyki Hilberta,
>>> którą można zapisać w logice 1 lub 2 rzędu, lub nawet aksjomatyki
>>> Tarskiego w logice 2 rzędu lub 1 rzędu wzbogaconej o jakąs postać teorii
>>> mnogości.
>>>
>>> Garść informacji:
>>>
>>> http://www.math.umbc.edu/~campbell/Math306Spr02/notes/ - notatki z
>>> wykładu, na dole są podane różne aksjomatyki. Jest użyty język
>>> naturalny, więc nie będziesz mieć problemu  ich zrozumieniem, o ile
>>> znasz angielski. Należy przy tym zaznaczyć, że aksjomatyka Euklidesa nie
>>> jest pełna, gdyż używa on pojęć których nie definiuje do wyprowadzenia
>>> niektórych twierdzeń. Ale w końcu to było w roku 300 p.n.e.  Niestety
>>> jest tam też kilka niejasności :-(
>>>
>>> Tu informacje o rozstrzygalności:
>>> http://math.berkeley.edu/~scanlon/papers/dedfg1.pdf
>>>
>>> Tutaj 3 aksjomatyki opisane:
>>> http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_axioms
>>> http://en.wikipedia.org/wiki/Tarski%27s_axioms
>>> http://en.wikipedia.org/wiki/Birkhoff%27s_axioms
>>>
>>> Tutaj cała książka Hilberta w której wprowadził swoją aksjomatykę:
>>> ftp://ftp.pg.psnc.pl/pub/1/7/3/8/17384/17384-pdf.pdf
>>>
>>> A tutaj aksjomatyka Hilberta w języku polskim:
>>> http://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomatyka_Hilberta
>>>
>>> To na wypadek gdybyś nie znał angielskiego. Jest ona sformułowana w
>>> języku naturalnym, więc nie powinieneś mieć problemu z jej zrozumieniem.
>>> Jednakże jeśli porównasz strony:
>>> http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_axioms
>>> i
>>> http://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomatyka_Hilberta
>>> to zauważysz że jak to zazwyczaj bywa polska strona jest do bani, bo
>>> błędnie podaje aksjomat ciągłości, gdyż używa pojęcia liczby naturalnej,
>>> którego w geometrii NIE MA.
>>>
>>> Informacje o aksjomatyce Tarskiego i jej rozwinięciach:
>>> http://www.math.ucla.edu/~asl/bsl/0502/0502-002.ps
>>>
>>> Szczerze mówiąc ja bym tu użył aksjomatyki Tarskiego wzbogaconej o
>>> mereologię. To mogłoby być dość ciekawe. Podejrzewam, że dostaniemy
>>> system zawierający arytmetykę :-) Więc nie powinno być problemu z
>>> formalizacją ZFC wewnątrz niego.
>>>
>>> Nadal jesteś zainteresowany zabawą z geometrią? To może być ciekawa
>>> rozrywka... Jeśli tak, to możemy coś wymyslić :-D
>> Piszesz "używa pojęcia liczby naturalnej, którego w geometrii NIE MA."
>> Czym wobec tego wyskalowana jest oś liczbowa w geometrii
>> jeśli NIE MA w geometrii pojęcia liczby naturalnej ? :-)
> 
> Liczby naturalne to dowolne obiekty spełniające aksjomaty arytmetyki.
> Chodzi tu o to, że aby mówić o liczbach naturalnych musimy znaleźć
> jakieś obiekty spełniające ich aksjomaty, a także odwzorować operacje
> arytmetyki na operacje geometryczne. Nie wystarczy tylko wybrać
> odpowiednich punktów, bo arytmetyka zawiera także operacje dodawania i
> mnożenia. Dlatego dla geometrii bez żadnej teorii mnogości pojawiają się
> problemy.
> Weźmy aksjomaty arytmetyki z poniższej strony:
> http://www.ltn.lv/~podnieks/gt3.html
> Przepisałem je w innej notacji:
> 
> P12) ALL x. ~0=x+1
> 
> Dla każdego x nieprawda że zero jest równe następnikowi jakiejś liczby.
> 
> P22) ALL x. ALL y. x+1=y+1 => x=y
> 
> Dla dowolnych x,y x+1=y+1 implikuje x=y
> 
> P32) ALL x. x+0=x
> 
> P42) ALL x. ALL y. x+(y+1)=(x+y)+1
> 
> P52) ALL x. x*0=0
> 
> P62) ALL x. ALL y. x*(y+1)=(x*y)+x
> 
> A to jest schemat aksjomatów indukcji. Podpada pod niego nieskończenie
> wiele aksjomatów, gdyż jest to schemat dla dowolnej formuły języka
> arytmetyki B(_)
> 
> P72) ( B(0) & ALL x. (B(x)=>B(x+1)) ) => ALL x. B(x)
> 
> B(_) - dowolna formuła języka arytmetyki, gdzie _ to jej wybrany parametr.
> B(0) i
> dla każdego x B(x) implikuje B(x+1)
> implikuje
> dla każdego x B(x)
> 
> A więc, żeby mieć liczby musimy jakoś odwzorować mnożenie i indukcję. To
> się nie uda dla geometrii bez jakiejś teorii mnogości, gdyż jest ona
> rozstrzygalna, a arytmetyka nie jest. Rozstrzygalność polega na tym, że
> istnieje algorytm pozwalający stwierdzić, czy dane zdanie jest
> twierdzeniem danej teorii, czy nie. Inaczej mówiąc można napisać program
> na komputerze, który byćmoże po bardzo długim, aczkolwiek skończonym
> czasie odpowie na pytanie, czy dane twierdzenie jest dowodliwe, czy
> raczej jego zaprzeczenie. A więc nie można włożyć teorii
> nierozstrzygalnej do rozstrzygalnej, gdyż wtedy ta pierwsza byłaby
> rozstrzygalna na gruncie drugiej. Ale jeśli dołozymy jakąś formę teorii
> mnogości/typów itp. to prawdopodobnie wzmocnimy wystarczająco teorię.
> 
> 
> Proste wyjaśnienie powyższego:
> 
> Nawet jeśli wybierzesz pewne punkty na osi jako liczby naturalne nie
> będziesz mógł zdefiniować operacji na nich. Geometria, bez mozliwości
> mówienia o zbiorach punktów a tylko o samych punktach nie pozwoli na
> zdefiniowanie wszystkich operacji na liczbach naturalnych. Aczkolwiek
> jeśli dopuści się mówienie o zbiorach punktów, prawdopodobnie (zgaduję)
> będzie możliwe zdefiniowanie tych operacji, a tym samym liczb naturalnych.
>

Sprawdziłem, mnożenie jest definiowalne w geometrii. No cóż, to było
jednak proste. Natomiast nie można wyróżnić zbioru liczb naturalnych w
standardowej geometrii. Tym samym nie można zastosować aksjomatów tylko
do tych obiektów, a dokładniej, nie można kwantyfikować tylko po
liczbach naturalnych.

Dane:
1. książka HIlberta pokazuje jak zdefiniować liczby rzeczywiste. No cóż
musiało mi coś paść na mózg, że nie pomyślałem, że przecież tam jest
mnożenie.
2. http://math.berkeley.edu/~scanlon/papers/dedfg1.pdf - tu wskazana
jest prawidłowa przyczyna - niemożność wyróżnienia liczb naturalnych.
>> Edward Robak* z Nowej Huty
>> ~>°<~
>> miłośnik mądrości
>> - -
>> kopia na pl.sci.filozofia