🚀 go-pugleaf

On 24 Sty, 15:34, WM <ciek...@gazeta.pl> wrote:
> Przez średnicę podstawy walca kołowego o promieniu r ,
> przeprowadzam płaszczyznę pod kątem 45 stopni do osi.
> Odcinam, w ten sposób, mały kawałek walca wraz z połową podstawy.
> Przy pomocy całkowania obliczyłem, że objętość tego kawałka wynosi  V
> = (2/3) * r

Zapomniałem dodać operację potęgowania :

= (2/3) * r^3

>
> Myslałem, że popełniłem błąd, bo we wzorze brak jest liczby Pi ,
> ale znalazłem wzory na bryły Steinmetza, które potwierdzają to co
> obliczyłem.
> Ponadto jest tam informacja, że wzory były znane starożytnym
> Chińczykom
> i Archimedesowi, a oni nie znali całek.
>
> Czy ktoś wie jak policzyć tą objętosć bez całkowania?
>
> Pozdrawiam WM

Użytkownik "WM" <ciekaw1@gazeta.pl> napisał w wiadomości 
news:d6583823-141d-4a92-9c6a-62c6e9d26de5@o28g2000yqh.googlegroups.com...
On 24 Sty, 15:34, WM <ciek...@gazeta.pl> wrote:
> Przez średnicę podstawy walca kołowego o promieniu r ,
> przeprowadzam płaszczyznę pod kątem 45 stopni do osi.
> Odcinam, w ten sposób, mały kawałek walca wraz z połową podstawy.
> Przy pomocy całkowania obliczyłem, że objętość tego kawałka wynosi V
> = (2/3) * r

Zapomniałem dodać operację potęgowania :

= (2/3) * r^3

>
> Myslałem, że popełniłem błąd, bo we wzorze brak jest liczby Pi ,
> ale znalazłem wzory na bryły Steinmetza, które potwierdzają to co
> obliczyłem.
> Ponadto jest tam informacja, że wzory były znane starożytnym
> Chińczykom
> i Archimedesowi, a oni nie znali całek.
>
> Czy ktoś wie jak policzyć tą objętosć bez całkowania?
>
> Pozdrawiam WM

Ogólnie Archimedes udowadnia, że jeżeli w prostopadłościan (ściślej pisze 
chyba o pryzmie której boki są prostokątami a podstawy kwadratami) o 
podstawie kwadratowej zostanie wpisany cylinder, to płaszczyzna przechodząca 
przez jedną z krawędzi podstawy prostopadłościanu i średnicę przeciwległej 
podstawy cylindra, wycina część cylindra, którego objętość jest równa 1/6 
objętości tego prostopadłościanu. W szczególnym przypadku prowadzi to do 
Twojego wzoru:
Objętość prostopadłościanu=4r^3, i objętość fragmentu 
cylindra=(4r^3)/6=(2*r^3)/3
Pozdrawiam
PawelT

pt pisze:
> U�ytkownik "WM" <ciekaw1@gazeta.pl> napisa� w wiadomo�ci 
> news:d6583823-141d-4a92-9c6a-62c6e9d26de5@o28g2000yqh.googlegroups.com...
> On 24 Sty, 15:34, WM <ciek...@gazeta.pl> wrote:
>> Przez �rednic� podstawy walca ko�owego o promieniu r ,
>> przeprowadzam p�aszczyzn� pod k�tem 45 stopni do osi.
>> Odcinam, w ten spos�b, ma�y kawa�ek walca wraz z po�ow� podstawy.
>> Przy pomocy ca�kowania obliczy�em, �e obj�to�� tego kawa�ka wynosi V
>> = (2/3) * r
> 
> Zapomnia�em doda� operacj� pot�gowania :
> 
> = (2/3) * r^3
> 
>> Mysla�em, �e pope�ni�em b��d, bo we wzorze brak jest liczby Pi ,
>> ale znalaz�em wzory na bry�y Steinmetza, kt�re potwierdzaj� to co
>> obliczy�em.
>> Ponadto jest tam informacja, �e wzory by�y znane staro�ytnym
>> Chi�czykom
>> i Archimedesowi, a oni nie znali ca�ek.
>>
>> Czy kto� wie jak policzy� t� obj�tos� bez ca�kowania?
>>
>> Pozdrawiam WM
> 
> Og�lnie Archimedes udowadnia, �e je�eli w prostopad�o�cian (�ci�lej pisze 
> chyba o pryzmie kt�rej boki s� prostok�tami a podstawy kwadratami) o 
> podstawie kwadratowej zostanie wpisany cylinder, to p�aszczyzna przechodz�ca 
> przez jedn� z kraw�dzi podstawy prostopad�o�cianu i �rednic� przeciwleg�ej 
> podstawy cylindra, wycina cz�� cylindra, kt�rego obj�to�� jest r�wna 1/6 
> obj�to�ci tego prostopad�o�cianu. W szczeg�lnym przypadku prowadzi to do 
> Twojego wzoru:
> Obj�to�� prostopad�o�cianu=4r^3, i obj�to�� fragmentu 
> cylindra=(4r^3)/6=(2*r^3)/3
> Pozdrawiam
> PawelT
> 
> 
A możesz jeszcze przedstawić jak Archimedes to udowadnia ;-)

Użytkownik "Mateusz Grotek" <unoduetre@poczta.onet.pl> napisał w wiadomości 
news:hjk7j1$tf6$1@news.onet.pl...
> pt pisze:
>> U?ytkownik "WM" <ciekaw1@gazeta.pl> napisa? w wiadomo?ci
>> news:d6583823-141d-4a92-9c6a-62c6e9d26de5@o28g2000yqh.googlegroups.com...
>> On 24 Sty, 15:34, WM <ciek...@gazeta.pl> wrote:
>>> Przez ?rednic? podstawy walca ko?owego o promieniu r ,
>>> przeprowadzam p?aszczyzn? pod k?tem 45 stopni do osi.
>>> Odcinam, w ten spos?b, ma?y kawa?ek walca wraz z po?ow? podstawy.
>>> Przy pomocy ca?kowania obliczy?em, ?e obj?to?? tego kawa?ka wynosi V
>>> = (2/3) * r
>>
>> Zapomnia?em doda? operacj? pot?gowania :
>>
>> = (2/3) * r^3
>>
>>> Mysla?em, ?e pope?ni?em b??d, bo we wzorze brak jest liczby Pi ,
>>> ale znalaz?em wzory na bry?y Steinmetza, kt?re potwierdzaj? to co
>>> obliczy?em.
>>> Ponadto jest tam informacja, ?e wzory by?y znane staro?ytnym
>>> Chi?czykom
>>> i Archimedesowi, a oni nie znali ca?ek.
>>>
>>> Czy kto? wie jak policzy? t? obj?tos? bez ca?kowania?
>>>
>>> Pozdrawiam WM
>>
>> Og?lnie Archimedes udowadnia, ?e je?eli w prostopad?o?cian (?ci?lej pisze
>> chyba o pryzmie kt?rej boki s? prostok?tami a podstawy kwadratami) o
>> podstawie kwadratowej zostanie wpisany cylinder, to p?aszczyzna 
>> przechodz?ca
>> przez jedn? z kraw?dzi podstawy prostopad?o?cianu i ?rednic? 
>> przeciwleg?ej
>> podstawy cylindra, wycina cz?? cylindra, kt?rego obj?to?? jest r?wna 1/6
>> obj?to?ci tego prostopad?o?cianu. W szczeg?lnym przypadku prowadzi to do
>> Twojego wzoru:
>> Obj?to?? prostopad?o?cianu=4r^3, i obj?to?? fragmentu
>> cylindra=(4r^3)/6=(2*r^3)/3
>> Pozdrawiam
>> PawelT
>>
>>
> A możesz jeszcze przedstawić jak Archimedes to udowadnia ;-)

To by było trudne. Zajrzałem do: Geometrical solutions derived from 
mechanics - A treatise of Archimedes (tłumaczone na angielski przez J. L. 
Heiberga w 1913r)
Możesz przejrzeć pod adresem: 
http://www.archive.org/stream/geometricalsolut00arch#page/n7/mode/2up 
szukając twierdzeń (proposition) 11, 13 i 14.
Z przyrodzonego lenistwa i pewnego braku czasu nie mogę, przynajmniej w tym 
tygodniu, przetłumaczyć tych fragmentów
Pozdrawiam
PawelT

WM pisze:

> Ponadto jest tam informacja, że wzory były znane starożytnym
> Chińczykom
> i Archimedesowi, a oni nie znali całek.

Całek, w dzisiejszym rozumieniu tego słowa, nie
znali, ale znali tzw. metodę wyczerpywania, którą
można uważać za pierwowzór całkowania i właściwie
się do niego sprowadza.


> Czy ktoś wie jak policzyć tą objętosć bez całkowania?

Jest to opisane np. w książeczce Natansona
"Sumowanie nieskończenie małych", ale wahałbym się,
czy określenie 'bez całkowania' ma tu zastosowanie.
Bo w sumie wygląda to podobnie do liczenia całki
Riemanna z definicji (jedynie słowo 'całka' w sposób
jawny się nie pojawia).


Pozdrawiam
Maciej Marek

Archmedes  prawdopodobnie określił to doświadczalnie, robił wiele 
doświadczeń z wodą. A to jest trywialne.

t-1



Użytkownik "pt" <ptatar@poczta.onet.pl> napisał w wiadomości 
news:hjkudd$2ic$1@news.onet.pl...
>
> Użytkownik "Mateusz Grotek" <unoduetre@poczta.onet.pl> napisał w 
> wiadomości news:hjk7j1$tf6$1@news.onet.pl...
>> pt pisze:
>>> U?ytkownik "WM" <ciekaw1@gazeta.pl> napisa? w wiadomo?ci
>>> news:d6583823-141d-4a92-9c6a-62c6e9d26de5@o28g2000yqh.googlegroups.com...
>>> On 24 Sty, 15:34, WM <ciek...@gazeta.pl> wrote:
>>>> Przez ?rednic? podstawy walca ko?owego o promieniu r ,
>>>> przeprowadzam p?aszczyzn? pod k?tem 45 stopni do osi.
>>>> Odcinam, w ten spos?b, ma?y kawa?ek walca wraz z po?ow? podstawy.
>>>> Przy pomocy ca?kowania obliczy?em, ?e obj?to?? tego kawa?ka wynosi V
>>>> = (2/3) * r
>>>
>>> Zapomnia?em doda? operacj? pot?gowania :
>>>
>>> = (2/3) * r^3
>>>
>>>> Mysla?em, ?e pope?ni?em b??d, bo we wzorze brak jest liczby Pi ,
>>>> ale znalaz?em wzory na bry?y Steinmetza, kt?re potwierdzaj? to co
>>>> obliczy?em.
>>>> Ponadto jest tam informacja, ?e wzory by?y znane staro?ytnym
>>>> Chi?czykom
>>>> i Archimedesowi, a oni nie znali ca?ek.
>>>>
>>>> Czy kto? wie jak policzy? t? obj?tos? bez ca?kowania?
>>>>
>>>> Pozdrawiam WM
>>>
>>> Og?lnie Archimedes udowadnia, ?e je?eli w prostopad?o?cian (?ci?lej 
>>> pisze
>>> chyba o pryzmie kt?rej boki s? prostok?tami a podstawy kwadratami) o
>>> podstawie kwadratowej zostanie wpisany cylinder, to p?aszczyzna 
>>> przechodz?ca
>>> przez jedn? z kraw?dzi podstawy prostopad?o?cianu i ?rednic? 
>>> przeciwleg?ej
>>> podstawy cylindra, wycina cz?? cylindra, kt?rego obj?to?? jest r?wna 1/6
>>> obj?to?ci tego prostopad?o?cianu. W szczeg?lnym przypadku prowadzi to do
>>> Twojego wzoru:
>>> Obj?to?? prostopad?o?cianu=4r^3, i obj?to?? fragmentu
>>> cylindra=(4r^3)/6=(2*r^3)/3
>>> Pozdrawiam
>>> PawelT
>>>
>>>
>> A możesz jeszcze przedstawić jak Archimedes to udowadnia ;-)
>
> To by było trudne. Zajrzałem do: Geometrical solutions derived from 
> mechanics - A treatise of Archimedes (tłumaczone na angielski przez J. L. 
> Heiberga w 1913r)
> Możesz przejrzeć pod adresem: 
> http://www.archive.org/stream/geometricalsolut00arch#page/n7/mode/2up 
> szukając twierdzeń (proposition) 11, 13 i 14.
> Z przyrodzonego lenistwa i pewnego braku czasu nie mogę, przynajmniej w 
> tym tygodniu, przetłumaczyć tych fragmentów
> Pozdrawiam
> PawelT
>
> 

>>>
>> A mo�esz jeszcze przedstawi� jak Archimedes to udowadnia ;-)
> 
> To by by�o trudne. Zajrza�em do: Geometrical solutions derived from 
> mechanics - A treatise of Archimedes (t�umaczone na angielski przez J. L. 
> Heiberga w 1913r)
> Mo�esz przejrze� pod adresem: 
> http://www.archive.org/stream/geometricalsolut00arch#page/n7/mode/2up 
> szukaj�c twierdze� (proposition) 11, 13 i 14.
> Z przyrodzonego lenistwa i pewnego braku czasu nie mog�, przynajmniej w tym 
> tygodniu, przet�umaczy� tych fragment�w
> Pozdrawiam
> PawelT
> 
> 

Ok, dzięki.

Maciej Marek pisze:
> WM pisze:
> 
>> Ponadto jest tam informacja, że wzory były znane starożytnym
>> Chińczykom
>> i Archimedesowi, a oni nie znali całek.
> 
> Całek, w dzisiejszym rozumieniu tego słowa, nie
> znali, ale znali tzw. metodę wyczerpywania, którą
> można uważać za pierwowzór całkowania i właściwie
> się do niego sprowadza.
> 
W skrócie metoda ta wygląda następująco:
pokażę na przykładzie twierdzenia, że objętość walca jest trzykrotnością
objętości stożka o tej samej podstawie i wysokości, a którego
wierzchołek jest środkiem jednej z podstaw walca.
Skorzystam tutaj z twierdzenia, że objętość prostopadłościanu jest
trzykrotnością objętości ostrosłupa o tej samej podstawie i wysokości.
Oznaczmy objętość walca jako W a objętość stożka jako S.
Mamy W=3S lub W<3S lub W>3S.

Sprowadzę do sprzeczności nierówności pozostawiając tylko przypadek w
którym objętość walca jest trzykrotnością objętości stożka.

Zał. W>3S

Wpiszmy w podstawę walca kwadrat. Ma on pole większe od połowy koła
będącego podstawą walca. Buduję graniastosłup o podstawie będącej tym
kwadratem i wysokości równej wysokości walca. Części koła nie należące
do kwadratu tworzą odinki koła. Następnie połowię łuki łączące
wierzchołki kwadratu i łączę wierzchołki kwadratu z połową łuku
łączącego dane wierzchołki. Te 4 trójkąty mają łącznie pole większe niż
połowa czterech odcinków kołą. Na tych trójkątach buduję graniastosłupy
 w analogczny sposób. Pozostaje mi 8 odcinków koła. Na nich postępuje
podobnie. Czynność kontynuuję dopóki nie uzyskam graniastosłupa będącego
sumą wszystkich zbudowanych graniastosłupów o objętości większej niż 3S.
W takim wypadku oznaczmy ten graniastosłup jako G.
Mamy W=G+R, gdzie R to pozostała objętość, przy czym
3S<G (*)
i
R>0
Wynika z tego, że G/3>S
Zbudujmy ostrosłup o podstawie będącej podstawą G i wysokości równej
wysokości G. Oznaczmy go O. Wiemy, że O=G/3.
Czyli O>S z (*).
Ale jako, że stożek zawiera podany ostrosłup mamy O<=S.
SPRZECZNOŚĆ.

Analogicznie rozważamy dla W<3S.

Metoda ta jest dość elegancka i elementarna. Można pokusić się o
przetłumaczenie tej metody na współczesny język. Pojęcie procesu
zastępujemy tutaj pojęciem ciągu. Fakt,że możemy dowolnie przybliżyć
pole wielokątów do pola koła to nic innego jak pojęcie granicy. Często
pojawiające się stwierdzenie o przekraczaniu połowy to nic innego jak
własność: wartość szeregu A/(2^n) dla n od 1 do nieskończoności jest
równa A. Przy założeniu ograniczoności dostajemy oczekiwany wniosek. Jak
widać jedyna znacząca różnica to właśnie skorzystanie z szeregów, a nie
z całek. Oczywiście musimy tu przyjąć kilka poważnych założeń,
związanych z teorią całki i miary. Jeśli przyjrzymy się uważniej
definicji całki (dajmy na to Riemanna) to odkryjemy, że jest ona bardzo
podobna do definicji szeregu. Różnice wynikają z szerszej klasy obiektów
rozważanych przez współczesną analizę, niż były one rozważane przez
Euklidesa. Ciekawe co odpowiedziałby na pytanie, jakie jest pole pod
wykresem funkcji Dirichleta, gdybyśmy przetłumaczyli to na jego język :-)

On 24 Sty, 15:34, WM <ciek...@gazeta.pl> wrote:
> Przez średnicę podstawy walca kołowego o promieniu r ,
> przeprowadzam płaszczyznę pod kątem 45 stopni do osi.
> Odcinam, w ten sposób, mały kawałek walca wraz z połową podstawy.
> Przy pomocy całkowania obliczyłem, że objętość tego kawałka wynosi  V
> = (2/3) * r
>
> Myslałem, że popełniłem błąd, bo we wzorze brak jest liczby Pi ,
> ale znalazłem wzory na bryły Steinmetza, które potwierdzają to co
> obliczyłem.
> Ponadto jest tam informacja, że wzory były znane starożytnym
> Chińczykom
> i Archimedesowi, a oni nie znali całek.
>
> Czy ktoś wie jak policzyć tą objętosć bez całkowania?
>
> Pozdrawiam WM

mam pytanie a co z wysokością walca ?

Użytkownik "dexter" <roman.rozenberger@gmail.com> napisał
w news:8117fc13-4b75-4941-a62c-10eb5d83afd1@i39g2000yqm.googlegroups.com...
> On 24 Sty, 15:34, WM <ciek...@gazeta.pl> wrote:
>> Przez średnicę podstawy walca kołowego o promieniu r ,
>> przeprowadzam płaszczyznę pod kątem 45 stopni do osi.
>> Odcinam, w ten sposób, mały kawałek walca wraz z połową podstawy.
>> Przy pomocy całkowania obliczyłem, że objętość tego kawałka wynosi
>> V = (2/3) * r
>>
>> Myslałem, że popełniłem błąd, bo we wzorze brak jest liczby Pi ,
>> ale znalazłem wzory na bryły Steinmetza, które potwierdzają
>> to co obliczyłem.
>> Ponadto jest tam informacja, że wzory były znane starożytnym
>> Chińczykom i Archimedesowi, a oni nie znali całek.
>>
>> Czy ktoś wie jak policzyć tą objętosć bez całkowania?
>>
>> Pozdrawiam WM
>
> mam pytanie a co z wysokością walca ?


To chyba oczywiste...? Musi być nie mniejsza od r.
W przeciwnym razie WM byłby zapewne powiedział,
że odcina "mały kawałek walca wraz z połową JEDNEJ
podstawy i KAWAŁKIEM DRUGIEJ".

Maciek