🚀 go-pugleaf

Maciej Marek pisze:
> WM pisze:
> 
>> Ponadto jest tam informacja, że wzory były znane starożytnym
>> Chińczykom
>> i Archimedesowi, a oni nie znali całek.
> 
> Całek, w dzisiejszym rozumieniu tego słowa, nie
> znali, ale znali tzw. metodę wyczerpywania, którą
> można uważać za pierwowzór całkowania i właściwie
> się do niego sprowadza.
> 
W skrócie metoda ta wygląda następująco:
pokażę na przykładzie twierdzenia, że objętość walca jest trzykrotnością
objętości stożka o tej samej podstawie i wysokości, a którego
wierzchołek jest środkiem jednej z podstaw walca.
Skorzystam tutaj z twierdzenia, że objętość prostopadłościanu jest
trzykrotnością objętości ostrosłupa o tej samej podstawie i wysokości.
Oznaczmy objętość walca jako W a objętość stożka jako S.
Mamy W=3S lub W<3S lub W>3S.

Sprowadzę do sprzeczności nierówności pozostawiając tylko przypadek w
którym objętość walca jest trzykrotnością objętości stożka.

Zał. W>3S

Wpiszmy w podstawę walca kwadrat. Ma on pole większe od połowy koła
będącego podstawą walca. Buduję graniastosłup o podstawie będącej tym
kwadratem i wysokości równej wysokości walca. Części koła nie należące
do kwadratu tworzą odinki koła. Następnie połowię łuki łączące
wierzchołki kwadratu i łączę wierzchołki kwadratu z połową łuku
łączącego dane wierzchołki. Te 4 trójkąty mają łącznie pole większe niż
połowa czterech odcinków kołą. Na tych trójkątach buduję graniastosłupy
 w analogczny sposób. Pozostaje mi 8 odcinków koła. Na nich postępuje
podobnie. Czynność kontynuuję dopóki nie uzyskam graniastosłupa będącego
sumą wszystkich zbudowanych graniastosłupów o objętości większej niż 3S.
W takim wypadku oznaczmy ten graniastosłup jako G.
Mamy W=G+R, gdzie R to pozostała objętość, przy czym
3S<G (*)
i
R>0
Wynika z tego, że G/3>S
Zbudujmy ostrosłup o podstawie będącej podstawą G i wysokości równej
wysokości G. Oznaczmy go O. Wiemy, że O=G/3.
Czyli O>S z (*).
Ale jako, że stożek zawiera podany ostrosłup mamy O<=S.
SPRZECZNOŚĆ.

Analogicznie rozważamy dla W<3S.

Metoda ta jest dość elegancka i elementarna. Można pokusić się o
przetłumaczenie tej metody na współczesny język. Pojęcie procesu
zastępujemy tutaj pojęciem ciągu. Fakt,że możemy dowolnie przybliżyć
pole wielokątów do pola koła to nic innego jak pojęcie granicy. Często
pojawiające się stwierdzenie o przekraczaniu połowy to nic innego jak
własność: wartość szeregu A/(2^n) dla n od 1 do nieskończoności jest
równa A. Przy założeniu ograniczoności dostajemy oczekiwany wniosek. Jak
widać jedyna znacząca różnica to właśnie skorzystanie z szeregów, a nie
z całek. Oczywiście musimy tu przyjąć kilka poważnych założeń,
związanych z teorią całki i miary. Jeśli przyjrzymy się uważniej
definicji całki (dajmy na to Riemanna) to odkryjemy, że jest ona bardzo
podobna do definicji szeregu. Różnice wynikają z szerszej klasy obiektów
rozważanych przez współczesną analizę, niż były one rozważane przez
Euklidesa. Ciekawe co odpowiedziałby na pytanie, jakie jest pole pod
wykresem funkcji Dirichleta, gdybyśmy przetłumaczyli to na jego język :-)