🚀 go-pugleaf

D852 wrote:

> Pochodna funkcji y=f(x) określona jest jako granica stosunku przyrostu 
> funkcji y do odpowiadającego mu przyrostu zmiennej niezależnej x, GDY 
> PRZYROST DELTA X DĄŻY DO ZERA.
> 
> Nie rozumiem części, którą zapisałem dużą czcionką.
> Sprawdzałem empirycznie kilka przykładów, co do których pochodne można 
> policzyć i przyrost był dodatni.
> Co znaczy, że przyrost dąży do zera ?
> Wdzięczny będę za wyjaśnienie "jak chłopu na miedzy" ;) Bez tego nawet nie 
> próbuję iść dalej. Pomożecie ?

Narysuj sobie funkcję y=x^2. Teraz popatrz na nią i zastanów się jaka 
może być pochodna w punkcie x=-1 ?

Szukamy odpowiedzi: Wiemy, że y(x)=1. No to weźmy sobie przyrost dx=3. 
Wtedy y(x+dx)=y(2)=4. Czyli przyrost wartości funkcji to dy=4-1=3. 
Stosunek tego przyrostu do przyrostu x to dy/dx=3/3=1. Zatem pochodna 
wynosi 1.

Ale, ale... A co by było, gdybyśmy przyjęli, że dx=2? No to policzmy: 
y(x+dx)=y(1)=1. Przyrost funkcji to 1-1=0. dy/dx=0/2=0. Czyli jednak 
pochodna to 0, a nie 1!

Ale... No a co gdybyśmy przyjęli dx=1? No to liczmy: y(x+dx)=y(0)=0. 
Przyrost dy=0-1=-1. dy/dx=-1/1=-1. A więc pochodna to -1.

No to jaka w końcu jest ta pochodna?


Tu właśnie rolę gra:

 > GDY PRZYROST DELTA X DĄŻY DO ZERA.

Zastanówmy się, co by było, gdyby dx było bardzo małe? Wtedy 
y(x+dx)=(x+dx)^2=(1+dx)^2=1+2dx+dx^2.
dy=1-(1+2dx+dx^2)=-2dx-dx^2=dx(-2+dx)
dy/dx=dx(-2+dx)/dx=-2+dx
Czyli nasz stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu to -2+dx, 
przy czym wiemy, że dx jest bardzo małe. Z definicji pochodnej wiemy, że 
jest ona granicą. Zatem nasza pochodna to -2. (Bo -2 jest granicą 
wyrażenia -2+dx dla dx->0).

-- 
Przemyslaw Kwiatkowski [Micha], micha@fidonet.org.pl, 2:480/127@FidoNet
SMS# +48 601 238089, GPG: 2CA0 F353 85FD B0F1 1BD4 73D7 F85D 2717

"Any technology distinguishable from magic is insufficiently advanced."
(c) Gregory Benford

Użytkownik "D852" <daro852@poczta.onet.pl> napisał w wiadomości
news:d3h21h$2cr$1@news.onet.pl...
> Witam serdecznie. Chciałbym prosić o pomoc w wytłumaczeniu jednej ( dla
Was
> napewno prostej ) kwestii. Próbuję zrozumieć całki i pochodne, ale trafiam
> na opór już na samym początku... do rzeczy :
> Jest taki tekst :
> Pochodna funkcji y=f(x) określona jest jako granica stosunku przyrostu
> funkcji y do odpowiadającego mu przyrostu zmiennej niezależnej x, GDY
> PRZYROST DELTA X DĄŻY DO ZERA.
>
> Nie rozumiem części, którą zapisałem dużą czcionką.

Może w ten sposób:
Jak na wykresie funkcji zaznaczysz 2 punkty
to możesz poprowadzić przez nie linię prostą.
Ta prosta nie pokrywa się najczęściej z funkcją.
Jednak gdy zbliżasz punkty (coraz mniejsza delta x)
wykres funkcji w powiększeniu zaczyna przypominać
w/w prostą. Przy bardzo bliskich punktach możesz
określić wartość funkcji  f(x+dx), mając dane f(x)
jako:
f(x+dx) = f(x) + A * dx  + reszta       [**1**]
Ta "reszta" musi maleć - i to szybko, szybciej niż dx
aby stosować "prostoliniowy" fragment:
f(x+dx) ~ f(x) + A * dx        [**2**]
Wsp. 'A' powyżej nazywa się pochodną,
i pospolicie traktowany jest jako nachylenie prostej
czyli ułamek (f(x+dx) - f(x)) / dx.
(narysuj sobie wykres to zobaczysz, jak to działa).
Stąd im mniejsze dx, tym lepiej prosta przybliża funkcję
w okolicy danego punktu. Wreszcie gdy dx --> 0
prosta staje się styczną do wykresu funkcji.
Równanie [**2**] staje się coraz bardziej poprawne,
gdy 'dx' jest coraz mniejsze, stąd warunek:
> Pochodna funkcji y=f(x) określona jest jako granica stosunku przyrostu
> funkcji y do odpowiadającego mu przyrostu zmiennej niezależnej x, GDY
> PRZYROST DELTA X DĄŻY DO ZERA.

Uwagi:
a) Równanie [**1**] jest bardzo ogólne, stosowalne
w wielowymiarowej przestrzeni, wtedy 'A' staje się
macierzą (operatorem liniowym).
b) Jeżeli funkcji w okolicy punktu 'x' nie da się
zapisać równaniem [**1**] to jest nieróżniczkowalna.
c) Jeszcze o DELTA X DĄŻY DO ZERA:
Napisałeś, że jest dodatnia. Może (i musi) być także ujemna,
bo test, czy funkcja da się przybliżyć prostą powinien
być wykonany z lewej i prawej strony punktu 'x'.
Zobacz np. wykres f(x) = |x|. Dla x = 0 nie da się
określić stycznej, pomimo, że są to dwie proste,
ale na "czubku" inaczej nachylone z lewej i prawej strony.
Funkcja jest nieróżniczkowalna dla x = 0.
Zobacz, że dla np. dla paraboli nie ma takiej sytuacji.
(różniczkowalna dla każdego skończonego x,
także dla x=0)

Powodzenia - Antek