🚀 go-pugleaf

D852 wrote:

> Pochodna funkcji y=f(x) określona jest jako granica stosunku przyrostu 
> funkcji y do odpowiadającego mu przyrostu zmiennej niezależnej x, GDY 
> PRZYROST DELTA X DĄŻY DO ZERA.
> 
> Nie rozumiem części, którą zapisałem dużą czcionką.
> Sprawdzałem empirycznie kilka przykładów, co do których pochodne można 
> policzyć i przyrost był dodatni.
> Co znaczy, że przyrost dąży do zera ?
> Wdzięczny będę za wyjaśnienie "jak chłopu na miedzy" ;) Bez tego nawet nie 
> próbuję iść dalej. Pomożecie ?

Narysuj sobie funkcję y=x^2. Teraz popatrz na nią i zastanów się jaka 
może być pochodna w punkcie x=-1 ?

Szukamy odpowiedzi: Wiemy, że y(x)=1. No to weźmy sobie przyrost dx=3. 
Wtedy y(x+dx)=y(2)=4. Czyli przyrost wartości funkcji to dy=4-1=3. 
Stosunek tego przyrostu do przyrostu x to dy/dx=3/3=1. Zatem pochodna 
wynosi 1.

Ale, ale... A co by było, gdybyśmy przyjęli, że dx=2? No to policzmy: 
y(x+dx)=y(1)=1. Przyrost funkcji to 1-1=0. dy/dx=0/2=0. Czyli jednak 
pochodna to 0, a nie 1!

Ale... No a co gdybyśmy przyjęli dx=1? No to liczmy: y(x+dx)=y(0)=0. 
Przyrost dy=0-1=-1. dy/dx=-1/1=-1. A więc pochodna to -1.

No to jaka w końcu jest ta pochodna?


Tu właśnie rolę gra:

 > GDY PRZYROST DELTA X DĄŻY DO ZERA.

Zastanówmy się, co by było, gdyby dx było bardzo małe? Wtedy 
y(x+dx)=(x+dx)^2=(1+dx)^2=1+2dx+dx^2.
dy=1-(1+2dx+dx^2)=-2dx-dx^2=dx(-2+dx)
dy/dx=dx(-2+dx)/dx=-2+dx
Czyli nasz stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu to -2+dx, 
przy czym wiemy, że dx jest bardzo małe. Z definicji pochodnej wiemy, że 
jest ona granicą. Zatem nasza pochodna to -2. (Bo -2 jest granicą 
wyrażenia -2+dx dla dx->0).

-- 
Przemyslaw Kwiatkowski [Micha], micha@fidonet.org.pl, 2:480/127@FidoNet
SMS# +48 601 238089, GPG: 2CA0 F353 85FD B0F1 1BD4 73D7 F85D 2717

"Any technology distinguishable from magic is insufficiently advanced."
(c) Gregory Benford