Obliczanie całek do szeregu Fouriera

Thread View: alt.pl.matematyka

4 messages

[T] Back to Threads [V] Tree View [G] Group Articles

4 total messages Started by Grandalf Thu, 29 Oct 2009 15:47

#10608

Author: Grandalf
Date: Thu, 29 Oct 2009 15:47

17 lines
2003 bytes

Witam! Na ostatnich zajęciach były omówione proste przebiegi
rozwinięte w szereg Fouriera. Chcąc utrwalić sobie pewne wiadomości
zabrałem się za przypomnienie całek. No i napotkałem pewien problem
już po pierwszej połowie rozwiązania całki. Mam taką postać

                                 pi
... dt = -(1/n)tcosnt | = ?
                                -pi

No właśnie i tutaj nie wiem jak to rozwiązać, całkowanie było po t,
nie wiem jak traktować ten parametr n. Rozwiązanie jest taki, lecz nie
wiem jak do niego dojść:

(2/n)(-1)^(n+1)

Może mi ktoś rozpisać jak wyglądają obliczenia krok po kroku
podstawiając te granice całkowania?

Re: Obliczanie całek do szeregu Fouriera

#10556

Author: WuKa
Date: Thu, 29 Oct 2009 21:53

22 lines
2054 bytes

Użytkownik "Grandalf" <grandalfino@gmail.com> napisał w wiadomości 
news:dd6052f0-0c25-4c82-87b0-10f90529b35f@15g2000yqy.googlegroups.com...
>
>Może mi ktoś rozpisać jak wyglądają obliczenia krok po kroku
>podstawiając te granice całkowania?

Wszystko się zgadza, z dokładnością wszelako do zgubionego mnożnika "pi".
Jest to typowa sytuacja, gdy zachodzi potrzeba odróżnienia n=2k i n=2k+1 a 
potem stwierdzenia, że jest pewna prawidłowość i powrotu do "n" jako każdej 
liczby naturalnej (być może uzupełnionej o 0) i regulacji znaku przez 
(-1)^wykładnik.

Mamy tu konkretnie: -(pi/n)*cos(n*pi)+((-pi)/n)*cos(n*(-pi))= /parzystość 
cosinusa/ = -(2pi/n)*cos(n*pi)
tu oceniamy zachowanie się cosinusa w punktach n*pi kojarząc, że cos(n*pi)=1 
dla n=2k i cos(n*pi)=-1 dla n=2k+1 (k=0,1,2...), czyli można to "załatwić" 
przez (-1)^n (n=0,1,2...)
Powsatły wzór ma więc postać -((2pi)/n)*(-1)^n
Aby nie zaczynał się od znaku ujemnego, zmienia sie wykładnik potęgi o +1, 
czyli mamy Twój wzór.

WuKa

Re: Obliczanie całek do szeregu Fouriera

#10565

Author: Grandalf
Date: Thu, 29 Oct 2009 22:48

6 lines
1610 bytes

On 29 Paź, 22:53, "WuKa" <wlk...@op.pl> wrote:
> czyli można to "załatwić"
> przez (-1)^n (n=0,1,2...)

Ok, fakt, niedopatrzyłem się tutaj parzystości funkcji, szukałem nie
wiadomo czego. Ale dalej nie rozumie dlaczego to (-1)^n... ?

Re: Obliczanie całek do szeregu Fouriera

#10567

Author: WuKa
Date: Fri, 30 Oct 2009 06:40

11 lines
1593 bytes

Użytkownik "Grandalf" <grandalfino@gmail.com> napisał w wiadomości 
news:b9eda103-8bce-407d-b511-ab52cfb715e4@15g2000yqy.googlegroups.com...

>Ok, fakt, niedopatrzyłem się tutaj parzystości funkcji, szukałem nie
>wiadomo czego. Ale dalej nie rozumie dlaczego to (-1)^n... ?

Bo czeka Cię sumowanie składników o regularnie zmieniającym się znaku +/-. 
Pomysłem na to jest właśnie (-1)^n. Jeśli nadal nie rozumiesz, polecam 
przejrzenie większej liczby przykładów.

WuKa

Thread Navigation

This is a paginated view of messages in the thread with full content displayed inline.

Messages are displayed in chronological order, with the original post highlighted in green.

Use pagination controls to navigate through all messages in large threads.

Back to All Threads