🚀 go-pugleaf

"WM" <ciekaw1@gazeta.pl>
news:6059229a-e00e-4c07-8b74-6a1c9fa59078@19g2000yql.googlegroups.com...
> On 5 Lut, 09:47, "Robakks" <Roba...@gazeta.pl> wrote:

>> >> Bardzo podoba mnie się ta zagadka, która pochodzi z czasów,
>> >> gdy nikomu nie śniła się jeszcze Teoria Zbiorów - a zbiór był
>> >> porządnym elementem matematyki logicznej. Czasy się zmieniły,
>> >> lecz dobrze jest powrócić czasem do korzeni i zobaczyć piękno
>> >> świata liczb, których się nie wymyśla, a odkrywa... :-)

> Skoro to lubisz, to ja podrzucę bardzo starą chinską zagadkę
> matematyczną:
>
> Około IIIw.p.n.e. zostaje postawiony szczególny przypadek słynnego
> chińskiego problemu reszty:
>
>  "Mamy pewną liczbę rzeczy, ale nie wiemy ile dokładnie. Jeśli
> policzymy je po trzy, pozostaną dwie.
> Jeśli policzymy je po pięć, pozostaną trzy. Jeśli policzymy je po
> siedem, pozostaną dwie. Ile rzeczy mamy?"

Fajne, równanie z 3-ema niewiadomymi. Na pierwszy rzut oka widać,
że trzeba trochę pokombinować i trochę czasu zajmie
w = x*3 + 2 = y*5 + 3 = z*7 + 2
bo nie da się go rozwiązać metodą podstawiania
x*3 + 2 = y*5 + 3,  x*3 = y*5 + 3 - 2,  x = y*5/3 + 1/3
x*3 + 2 = z*7 + 2,  x*3 = z*7, x = z*7/3
z*7/3 = y*5/3 + 1/3  /*3/7
z = y*5/7 + 1/7
. . .
w = x*3 + 2 = y*5 + 3 = z*7 + 2
w =      w     =       w     =      w
w =      w     -        w     +      w
w = x*3 + 2 - y*5 - 3 + z*7 + 2
w = x*3 - y*5 + z*7 +1
podstawiamy: x = y*5/3 + 1/3 oraz z = y*5/7 + 1/7
w = y*5 + 1 - y*5 + y*5 + 1 + 1 = y*5 +3
Straciłem czas uzyskując jako wynik daną wejściową, co potwierdziło
moją intuicję (przeczucie), że metodą prostego podstawiania nie
rozwiąże się tej prostej zagadki. ;)
Ale można uzyskane wzory wykorzystać do sprawdzenia innej intuicji
x = y*5/3 + 1/3
y = założone
z = y*5/7 + 1/7
Jeśli założymy sobie y=1 to
x = 5/3 + 1/3 = 6/3
y = 1
z = 5/7 + 1/7 = 6/7
Jeśli założymy sobie y=2 to
x = 2*5/3 + 1/3 = 11/3
y = 2
z = 2*5/7 + 1/7 = 11/7
Jeśli założymy sobie y=3 to
x = 3*5/3 + 1/3 = 16/3
y = 3
z = y*5/7 + 1/7 = 16/7
Jeśli założymy sobie y=4 to
x = 4*5/3 + 1/3 = 21/3
y = 4
z = 4*5/7 + 1/7 = 21/7
I widać to co było widać bez podstawiania założonego y,
że x = L/3 a z = L/7 {L=licznik}
Żeby x i z były liczbami całkowitymi L musi być wielokrotnością 3*7
Trzeba się więc przyglądnąć jak powstaje L
1; 6; 11; 16; 21 ... a więc L = y*5 + 1
Przypadkowe rozwiązanie już padło: dla y=4 faktycznie L=21=1*3*7
x wyszło 7 a z wyszło 3
Dla tych wartości
w = x*3 + 2 = y*5 + 3 = z*7 + 2
 w = 7*3 + 2 = 4*5 + 3 = 3*7 + 2
w = 23
Ale czy to jest jedyne rozwiązanie? Czy w wielokrotnościach
L = y*5 + 1
nie ma więcej takich liczb, które dla dowolnego całkowitego y
są podzielne bez reszty przez 21?
1; 6; 11; 16; 21  21=1*21
26, 31, 36, 41, 46 (42 BRAK) 46 - 42 = 4
51, 56, 61, 66 (63 BRAK) 66 - 63 = 3
71, 76, 81, 86 (84 BRAK) 86 - 84 = 2
91, 96, 101, 106 (105 BRAK) 106 - 105 = 1
111, 116, 121, 126  126=6*21
Mamy więc drugie rozwiązanie x = L/3 = 126/3 = 41
w = x*3 + 2 = 41*3 + 2 = 128
z = L/7 = 126/7 = 18
w = z*7 + 2 = 18*7 + 2 = 128
y*5 + 3 = w  -> y = (w - 3)/5 = 125/5 = 25
Powstaje pytanie:
jakie jest kolejne L spełniające warunek podzielności przez 21?
Od L=21 do L=126 było 21 iteracji. Jeśli 21 iteracji po 126 będzie
podzielne przez 21 to będzie to prawidłowość. Sprawdzę:
126 - 21 = 105 = 5*21
126 + 105 = 231
Faktycznie liczba L=231 jest podzielna przez 21
a kolejna liczba z tej prawidłowości 231 + 105 = 336 ?
Ano także spełnia warunek podzielności przez 21
Ogólnie:
L = n * 105 + 21 dla n od 0
w = x*3 + 2 = L + 2
w = n * 105 + 23 dla n od 0 -> oo
pytanie:
Ile rzeczy mamy?
odpowiedź:
możemy mieć tyle rzeczy ile wynika z równania:
w = n * 105 + 23 dla n od 0 -> oo
a więc 23 128 233 338 443 548 653 758 ...
Ile mamy nie wiadomo. ;-)
A teraz znając rozwiązanie zaglądnę do polskojęzycznego netu
zobaczyć jak inni to rozwiązali.
i... nie znalazłem - hehe ;DDD
Albo źle szukam, albo nie ma - normalka... :)


>>     "Newton nie był pierwszy
>>     To Hindusi odkryli całkowanie

> Trzeba niestety przyznać, że matematyka nieeuropejska była kiedyś na
> dużo wyzszym poziomie od europejskiej:
> http://www.fuw.edu.pl/~kostecki/histmat.pdf

Dzięki. Skopiowałem do folderu "wiedza" i spokojnie postudiuję.

>> Niewielu ludzi wie, że całkowanie i różniczkowanie opiera się
>> właśnie na postępie geometrycznym o "nieskończonej" ilości
>> elementów (wyrazów).

> Zgodzę się z tym, ze niewielu ;-)
>
> Pozdrawiam WM

Ano, niestety taki jest system edukacji-dukacji. Szkoli się
rzemieślników, a nie myślicieli. :-)
pozdrawiam,
Edward Robak* z Nowej Huty
~>°<~
miłośnik mądrości i nie tylko :)