🚀 go-pugleaf

Zdefiniuję dla każdego zdania  Z  indukowaną funkcję
logiczną   |Z| : LC --> {0 1}.

  Gdy indukowana funkcja logiczna  |Z|  jest stała
  i równa 1  (gdy  |Z|(u) = 1 dla każdego  u \in LC)
  to zdanie  Z  nazywamy tautologią.

***

(i)  Niech  Z  będzie zmienną  (Z \in V). Wtedy

        |Z|(u)  :=  u(Z)        dla każdego  u \in LC

Takie  |Z|  zależy istotnie tylko od zmiennej  Z
czyli od 1-elementowego zbioru zmiennych  {Z}.

***

 (ii)  Niech  Z  bedzie zdaniem  (~ Y),  gdzie  Y  jest
dowolnym zdaniem.  Wtedy, z definicji:

     |Z|(u) :=  1 - |Y|(u)        dla każdego  u \in LC

gdzie  -  oznacza zwykłe arytmetyczne odejmowanie:

    1 - 1 = 0    oraz    1 - 0 = 1

Widzimy, że  ~  jest interpretowane jako zaprzeczenie.
Można powiedzieć, że funkcja zaprzeczenia
jest funkcją na opak.

Funkcja  |Z|  zależy istotnie od tego samego
zbioru zmiennych co funkcja  |Y|.

***

(iii-EQ)  Niech  Z będzie zdaniem  ( X <=> Y),  gdzie
X Y  są dowolnymi zdaniami. Wtedy, z definicji:

    |Z|(u)  :=  1 - |X(u) - Y(u)|        dla każdego  u \in LC

gdzie po prawej stronie znowu stosujemy zwykłe
operacje arytmetyczne odejmowania i wartości
absolutnej.  Widzimy, że  |Z(u)| = 1  gdy  X(u) = Y(u),
oraz  |Z(u)| = 0  w przeciwnym wypadku;  czyli  <=>
jest interpretowane jako równoważność.

(iii-\/)  Niech  Z będzie zdaniem  ( X \/ Y),  gdzie
X Y  są dowolnymi zdaniami. Wtedy, z definicji:

  |Z|(u)  :=  max(|X|(u)  |Y|(u))    dla każdego  u \in LC

czyli  |Z|(u) = 1  gdy przynajmniej jedna z wartości
|X|(u)  |Y|(u)  jest  1;  oraz  |Z|(u) = 0  gdy żadna.

(iii-/\)  Niech  Z będzie zdaniem  ( X /\ Y),  gdzie
X Y  są dowolnymi zdaniami. Wtedy, z definicji:

  |Z|(u)  :=  min(|X|(u)  |Y|(u))    dla każdego  u \in LC

czyli  |Z|(u) = 1  gdy obie wartości  |X|(u)  |Y|(u)
wynoszą  1;  oraz  |Z|(u) = 0  w przeciwnym razie.

***

We wszystkich 3 powyższych przypadkach  (iii-<=>)
oraz (iii-\/)  oraz  (iii-/\),  jeżeli  A B  są zbiorami
zmiennych od ktorych zależą odpowiednio
funkcje  |X|  |Y|,  to  funkcja  |Z|  zalezy od zbioru
zmiennych  A \union B.

Powyższe jest rekurencyjną definicją funkcji
logicznej  |Z|  indukowanej przez zdanie  Z,
dla dowolnego zdania  Z.

*********************

PRZYKŁAD  Niech  Z  będzie zdaniem typu
=========    (Y \/ (~ Y)),  gdzie  Y  jest dowolnym
zdaniem.  Wtedy

    |Z|(u)  =  max(|Y|(u),  1 - |Y|(u))  =  1

dla dowolnego  u \in LC.  Zatem  Z  jest tautologią.

*****

Pozdrawiam,

    Włodek