🚀 go-pugleaf

Witam

Niech zmienna losowa X=(X1, X2, ..., Xn) będzie próbą z rozkładu 
normalnego N(u, S). Zmienna X tworzy nową zmienną losową:

(1) Y=X1^2 + X2^2+...+ Xn^2. (suma kwadratów)

Należy podać funkcję gęstości zmiennej losowej Y.

Podjąłem próbę znalezienia rozwiązania problemu:

1. Jeżeli X~N(0,1) to sprawa jest oczywista, otrzymujemy znaną z 
literatury funkcję gęstości f(y) rozkładu chi-kwadrat z n stopniami 
swobody. Ponieważ jej wzór jest trudny do napisania wspomnę tylko, co 
łatwiej napisać, że Y ma rozkład Gamma G(0.5, 0.5*n). Podanie na tej 
podstawie postaci funkcji gęstości f(y) jest już proste.

2. Jeśli X~N(0, S) to wyznaczenie f(y) również nie jest trudne. 
Wystarczy zauważyć, że Y~G(1/(2*S^2) ,0.5*n).

3. Niech X~N(u, S). Przyjmijmy, że:

(2) Z=X1^2,

wówczas funkcję gęstości zmiennej Z można zapisać wzorem:

(3) f(z)=(1/(S*sqrt(2z*Pi))) *exp(-0.5*((sqrt(z)-u)/S)^2).

Wszystko było dobrze gdy u=0. Wtedy korzystając z addytywności rozkładu 
Gamma można sobie wyznaczyć funkcję gęstości zmiennej ze wzoru (1). 
Teraz u jest rożne od zera i utknąłem. Potrafię podać funkcję gęstości 
zmiennej Z, ale już dla Y, gdzie jest suma kwadratów nie umiem. Szukałem 
po literaturze, znalazłem postacie niecentrycznych rozkładów chi-kwadrat 
ale postać Y była inna (uwzględniała S), dodatkowo wzory na f. gęstości 
były koszmarnie skomplikowane.

Proszę o wskazówki.

Pozdrawiam serdecznie Grupę